2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章-函数、导数及应用2.10-Word版含答案.docx

eq \o(\s\up7(第十节),\s\do5())eq \o(\s\up7(变化率与导数、导数的计算),\s\do5()) 　 知识点一　　导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx). 2．导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx)为f(x)的导函数． 1．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－eq \f(1,2)gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　A　) A．14 m/s2 B．4 m/s2 C．10 m/s2 D．－4 m/s2 解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)． 2．函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x＝2处的导数为4. 解析：函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为eq \f(22－12,2－1)＝3，在x＝2处的导数为f′(2)＝2×2＝4. 3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x. 解析：∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝eq \f(2,x＋1).当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. 知识点二　　导数的运算 1．几种常见函数的导数 2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 4．函数y＝xcosx－sinx的导数为(　B　) A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx 解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx. 5．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　B　) A．e2 B．e C.eq \f(ln2,2) D．ln2 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e. 1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?＋f?x?g′?x?,[g?x?]2)，(cosx)′＝sinx. 2．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 　 考向一　导数的运算 【例1】　求下列函数的导数． (1)y＝x2sinx； (2)y＝lnx＋eq \f(1,x)； (3)y＝eq \f(cosx,ex)； (4)y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))). 【解】　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\