构造直角三角形.妙解三角形试题.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 构造直角三角形.妙解三角形试题 解三角形问题的创新解法 在解三角形时,若能根据题中几何图形的特点,恰当地构造直角三角形,就可以充分利用直角三角形的性质,收到化难为易、事半功倍、出奇制胜的效果,达到妙解三角形的目的. [母题结构]:(直角三角形的判定)①如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则此三角形直角三角形;②一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形;③如果一条边是另边的一半,且较小边所对的角等于300,或较大边所对的角等于600,则此此三角形直角三角形. [解题程序]:利用直角三角形性质解决问题的关键是挖掘图中的直角三角形或构造直角三角形,其中,利用直角三角形的判定是挖掘图中直角三角形的常用方法,而作三角形的高是构造直角三角形的常用方法. 1.挖掘图中直角三角形 子题类型Ⅰ:(2012年安徽高考试题)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c, 且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. [解析]:(Ⅰ)由2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA=sin(A+C)(sinB≠0)cosA=,又由A∈(0,π)A=; (Ⅱ)取AC的中点E,则CE=b=1,DE=c=,DE∥AB∠CED=DE⊥BCBD=CD=,AB⊥BCAD==. [点评]:利用直角三角形的判定,挖掘题图中直角三角形,并运用直角三角形的性质是巧解三角形的有力方法. 2.作高构造直角三角形 子题类型Ⅱ:(2015年安徽高考试题)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. [解析]:如图,作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,则DE∥CF,由AB=6,AD=BD E是AB的中点AE=BE=3;又由∠A=,AC=3AF=CF=3;由DE∥CF DE:CF=BE:BFDE=1;在Rt△ADE中,AD==. [点评]:作三角形的高是构造直角三角形解决问题的基本思想方法;三角形的一条高把三角形分割为两个直角三角形,充分利用这两个直角三角形的性质和关系可给出问题的创新解法. 3.利用三角函数的几何意义 子题类型Ⅲ:(2008年全国Ⅰ高考试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4. (Ⅰ)求边长a; (Ⅱ)若△ABC的面积S=10,求△ABC的周长l. [解析]:如图,作CD⊥AB于D,则BD=acosB=3,CD=bsinA=4;(Ⅰ)在Rt△BCD中,a=BC=5; (Ⅱ)由S=ABCD=2AB=10AB=5AD=2AC=2周长l=5+5+2=10+2. [点评]:本题的解法为作者给出,优于“标准答案”给出的几种解法;它揭示了问题的本质和命题手法,同时也告诉我们:在解三角形问题时,可以根据已知条件中三角函数的几何意义作直角三角形巧解问题. 4.子题系列: 1.(2013年课标Ⅰ高考试题)如图,在△ABC中,∠ABC=900,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=900. (Ⅰ)若PB=,求PA; (Ⅱ)若∠APB=1500,求tan∠PBA. 2.(2013年课标Ⅱ高考试题)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若∠BAC=600,求∠B. 3.(2005年湖北高考试题)在△ABC中,己知tanB=,cosC=,AC=3,求△ABC的面积. 4.(2015年陕西高考试题)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行. (Ⅰ)求A; (Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积. 5.(2014年山东高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+. (Ⅰ)求b的值; (Ⅱ)求△ABC的面积. 6.(2012年课标高考试题)已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边,acosC+asinC-b-c=0. (Ⅰ)求A; (Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b、c. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)在△PBC中,BC=1,∠BPC=900,PB=∠PBC=600∠PBA=300PA=; (Ⅱ)设∠PBA=α,则∠PBC=900-α,在Rt△BCP中,由PB=BCcos(900-α)=sinα;在△PBA中,由= =4sinα=cosαtan∠PBA=tanα=. 2.解:(Ⅰ)由AD平分∠BAC