化二次型为标准型.ppt

* * 定义5.3 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 为二次型的标准形. 5.2 化二次型为标准型 例如 若标准形的系数只取1，-1，0，即 称为二次型的规范形。 　　要使二次型 经可逆线性变换x=Cy化为标准形,就是要使 因此，化二次型为标准形就是对于对称矩阵A寻找可逆矩阵C，使与A合同的矩阵CTAC为对角阵。 1 正交变换法 定理5.1 对于任一个n元二次型 总有正交变换x=Py(P为n阶正交矩阵），使 f(x1,x2,…,xn)化为标准形 常见的化二次型为标准形的方法 其中λ1, λ2，… λn是实对称矩阵A的特征值，P的n个列向量p1,p2,…pn是A的对应于特征值λ1, λ2，… λn的两两正交的单位特征向量. 推论5.1 对于任一个n元二次型 总有可逆线性变换x=Cz，使f(Cz)为规范形。 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例3 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 2 配方法 例5、化二次型为标准形 解：将 的项归并起来，得 令 经过可逆线性变换 将二次型化为标准型： 例5、化二次型为标准形 解 f不含平方项，含有x1,x2的乘积项，因此先用代换产生平方项 再配方，得 则有 令 所求得可逆变换矩阵为 说明：用配方的方法化二次型为标准型方法： 1）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换产生平方项后，再配方； 2）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。 注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是特征值。 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 求一正交变换，将二次型 思考题 思考题解答