数学分析16.1平面点集和多元函数.doc

第十六章 多元函数的极限与连续 1平面点集与多元函数 一、平面点集 概念1：在平面上确定一个坐标系(一般指平面直角坐标系)，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此“数对”可等同于“平面上的点”，这种确定了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作： E={(x,y)|(x,y)满足条件P}. 如R2={(x,y)|-∞x+∞,-∞y+∞}指整个坐标平面. 平面上 以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)|x2+y2r2}.而 集合S={(x,y)|a≤x≤b, c≤y≤d}表示一矩形及其内部所有点的全体，通常记作：[a,b]×[c,d]. 一般地，对于任意两个数集A, B，记A×B={(x,y)|x∈A,y∈B }，称为A与B的直积. 如： A={(u,v)|u2+v21}，B=[0,1]，则A×B={(u,v,w)|u2+v21, 0≤w≤1 }. 平面点集{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2δ2}与{(x,y)||x-x0|δ,|y-y0|δ}分别称为以点A(x0,y0)为中心的δ圆邻域与δ方邻域. 点A的任一圆邻域可包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然)，所以通常用“点A的δ邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并记为U(A;δ)或U(A). 而点A的空心邻域是指：(记为U?(A;δ)或U?(A)) {(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)2δ2}或{(x,y)||x-x0|δ,|y-y0|δ, (x,y)≠(x0,y0)}. 任一点A∈R2与任意一个点集E?R2之间必有以下三种关系之一： 1、内点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)?E，则称A是点集E的内点. E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E. 2、外点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=?，则称A是点集E的外点. 3、界点：若点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点. 即对任何正数δ，恒有 U(A;δ)∩E≠?且U(A;δ)∩Ec≠?，其中Ec=R2\E是E关于全平面的余集. E的全体界点构成E的边界，记作?E. 内点属于E，外点不属于E，界点不能确定. 按点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成的关系： 1、聚点：若在点A的任何空心邻域U?(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点. 聚点不一定属于E. A是点集E的聚点的定义等价于“点A的任何邻域U(A)内包含有E的无穷多个点”. 2、孤立点：若点A∈E, 但不是E的聚点，即存在某一正数δ，使得U?(A;δ)∩E=?，则称点A是E的孤立点. 孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，即不是聚点，又不是孤立点，必为外点. 例1：设平面点集D={(x,y)|1≤x2+y24}，分别指出它的内点、界点和聚点，并指出界点是否属于点集D. 解：满足1x2+y24的一切点都是D的内点； 满足x2+y2=1的一切点是D的界点且属于D； 满足x2+y2=4的一切点是D的界点且不属于D； 点集D连同它外圆边界上的所有点都是D的聚点. 概念2：重要的平面点集： 1、开集：若平面点集所属的每一点都是E的内点(即intE=E)，则称E为开集. 2、闭集：若平面点集E的所有集点都属于E，则称E为闭集. 没有聚点的点集也称为闭集. 注：例1中的点集D即不是开集也不是闭集；R2和?既开又闭. 3、开域：若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全包含于E的有限折线相连接，则称E为开域(非空连通开集). 4、闭域：开域连同其边界所成的点集称为闭域. 5、区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域. 反例：开集E={(x,y)|xy0}在I,III象限之间不具有连通性，所以它不是区域. 6、有界点集：对于平面点集E，若存在某一正数r?，使得E?U(O,r)， 其中O为坐标原点(也可为其它固定点)，则称E为有界点集. 反之则为无界点集. E为有界点集等价于：存在矩形区域D=[a,b]×[c,d]?E. 点集的有界性可用点集的直径来反映，即d(E)=ρ(P1,P2)，其中ρ(P1,P2)表示P1与P2两点之间的距离，当P1,P2的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)时，则ρ(P1,P2)=，于是当d(E)为有限值时，E为有界点集. 根据距离的概念，对R2上的任意三点P1,P2,P3，有以下三角不等式： ρ(P1,P2)≤ρ(P1,P3)+ ρ(P2,P3). 例2：证明：对任何S?R2，?S恒为闭集. 证：如图：设x0为?S的任一聚点， ?ε0，由聚点的定义，?γ∈U?(x0;ε)∩?S. 又γ是S的界点， ∴对任意U(γ;δ)?U?(