求解古典概型的几种简单方法.docx

【标题】求解古典概型的几种简单方法 【作者】唐 亚 莉 【关键词】古典概型??样本空间??样本点??等可能性 【指导老师】林 昌 盛 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言作为概率论中的重要组成部分——古典概率也起着重要的作用．古典概率是概率论发展初期的主要研究对象,在概率论的教程中至今仍占有很重要的地位．因此,掌握古典概率的计算方法对于学好概率论有着重要的意义．但学生在学习过程中,对于古典概率的习题往往感到无从下手,不能准确地获得问题求解的结果．本文主要是通过介绍古典概型的计算方法,使初学者在解题过程中能正确分析题意,运用适当的方法获得准确的答案,从而提其高分析问题和解决问题的能力．因此基于对古典概率学习的困难,本文将简单介绍古典概型的相关概念,并且从以下几类模型对古典概型的解法进行简单的了解．2古典概率思想的发展过程及意义萌芽时期(16世纪初至17世纪中叶)这一时期的代表人物和作品是文艺复兴时期意大利数学家卡尔达诺(G． Cardano, 1501年~1576年)及其于1526年写成,但在他死后很长时间才在1663年出版的遗著《论机会游戏》(另译《游戏机遇的学说》)．正是在他的这部有关论赌博的著作中,卡尔达诺首次给出了等可能性事件发生概率的一个粗略定义:一个特殊结果发生的概率等于得到这一结果的各种可能方式的数目除以“全范围”．在卡尔达诺之前,于1494年意大利出版的一本计算技术教科书中,作者帕奇欧里(L．Pacioli,约1445年~1509年)曾讨论过点数问题(Problem of the Points)—即在赌博提前中断的情况下,如何在两赌徒之间分配赌金的问题．作者帕奇欧里建议应按两方已胜局数之比进行分配．许多年之后,卡尔达诺重新讨论了这一问题,他懂得须要分析的不是已经赌过的次数,而是剩下的次数,卡尔达诺的这一想法已朝“点数问题”的解决迈出了一大步．计算时期(17世纪中叶)这一时期的主要代表人物和作品有法国数学家帕斯卡(B． Pascal, 1623年~1662年)和费马(P． de Fermat, 1601年~1665年)及两人关于赌金分配如何计算的通信(1654年)、荷兰数学家惠更斯(C．Huygens,1629年~1695年)及其1657年出版的《论概率博弈的计算》(又译《论赌博中的计算》)．帕斯卡和费马的主要工作是赌博中赌金的“公平”分配和计算．其中一个最有名的问题就是—“点数问题”,为帕斯卡的朋友梅累所提出．由于这一问题是古典概率的经典题例并影响日后古典概率思想的发展．虽然帕斯卡和费马思考这一问题的角度不一样,但他们都得出了“点数问题”的正确答案．惠更斯是第一个提出“数学期望”概念的数学家．在他的第三个命题中,以更为明显的形式导出了数学期望的公式:若有p次机会使我赢得赌金a以及q次机会赢得赌金b,如果所有机会都是等可能的,则我的期望值为(pa+qb)/(p+q)．逻辑推理、公式推导与研究对象、应用的扩大时期(17世纪中叶至18世纪中后叶)瑞士伯努利家族中的雅各布?伯努利(J．Bernoulli,1654年~1705年)于1713年出版的遗著《猜度术》(Ars Conjectandi)(又译《推想的艺术》)、其侄子尼古拉?伯努利(N． Bernoulli, 1687年~1759年)于1709年通过的博士论文《关于猜度术在法律中的用途》、法(英)数学家棣莫弗(A． De Moivre, 1667年~1754年)1711年写成的《抽签的计量》和1718年出版的《机会论》(TheDoctrine of Chances)及《分析杂论》(1730年)、辛普生(T． Simpson, 1710年~1761年)的《论机会的性质与规律》(ATreatise on the Nature and Laws of Chance, 1740年,伦敦出版)、法国数学家蒲丰(C． de Buffon,1707年~1788年)于1777年发表的《或然性算术试验》等,是这一时期的重要代表著作．全面总结与形成时期(18世纪中后叶至19世纪初叶)这一时期的主要代表人物和著作是法国数学家、天文学家拉普拉斯(P． S． Laplace,1749年~1827年)和他的《概率的分析理论》(1812年第一版),以及1814年《概率的分析理论》第2版增加了一个长达150页的绪论,该绪论同年刊印成单行本,题为《概率的哲学导论》．拉普拉斯是古典概率理论和思想的集大成者．《概率的分析理论》是拉普拉斯对前人及他自己研究成果的全面总结．《概率的哲学导论》论述概率论定义、发展历史、概率计算的一般原理与应用．在这部著作中,拉普拉斯给出了概率论的七个一般原理,这七个原理是现在概率教科书中古典概率部分的核心内容．古典概率思想的主要意义:古典