高等数学-第三章微分中值定理和导数的应用.ppt

前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了 现在对两个给定的函数 f(x)、F(x), 构造 即可证明柯西定理. 辅助函数 辅助函数 微分中值定理 分析 上式写成 用类比法 柯西定理的几何意义 注意 弦的斜率 柯西中值定理 (1) (2) 使得 微分中值定理 切线斜率 例 证 分析 结论可变形为 即 微分中值定理 满足柯西中值定理条件, 罗尔 定理 拉格朗日 中值定理 柯西 中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系: 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件, 换句话说, 满足条件, 不满足条件, 定理可能成立, 不是必要条件. 而 成立; 不成立. 微分中值定理 定理 也可能 应用三个中值定理常解决下列问题 (1) 验证定理的正确性; (2) 证明方程根的存在性; (3) 引入辅助函数证明等式; (4) 证明不等式; (5) 综合运用中值定理(几次运用). 微分中值定理 关键 逆向思维,找辅助函数 四、小结 微分中值定理 常利用逆向思维,构造辅助函数 注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤. 三个微分中值定理成立的条件; 各微分中值定理的关系; 证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程. 运用罗尔定理. 拉格朗日中值定理的各种形式,其关系; 第三章 微分中值定理与导数的应用 中值定理(mean value theorem) 指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关. 中值定理与导数的应用 罗尔定理 拉格朗日中值定理 小结 思考题 作业 柯西中值定理 第一节 微分中值定理 推广 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态, 要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁”. 中值定理 化率, 微分中值定理 指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关. 中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。 本节的几个定理都来源于下面的明显的 在一条光滑的平面曲线段AB上, ⌒ 至少有 与连接此曲线两端点的弦 平行. 几何事实: 微分中值定理 一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 . 有水平的切线 罗尔定理 (1) (2) (3) 罗尔 Rolle,(法)1652-1719 使得 如, 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 微分中值定理 费马引理 费马 Fermat,(法) 1601-1665 有定义, 如果对 有 那么 证 对于 有 微分中值定理 由极限的保号性 函数的 驻点(Stationary point), 稳定点, 临界点(Critical point). 费马引理 有定义, 如果对 有 微分中值定理 证 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 所以最值不可能同时在端点取得. 使 有 由费马引理, (1) 定理条件不全具备, 注 微分中值定理 结论不一定成立. 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 (2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为: 在( a , b )内可导,且 则在( a , b )内至少存在一点 使 提示 证 F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 . 设 微分中值定理 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 注 例 证 (1) (2) 定理的假设条件满足 结论正确 微分中值定理 验证罗尔定理的正确性. 罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道 究竟等于什么数, 只要知道 存在即可. 例 证 微分中值定理 例 证 零点定理 即为方程的小于1的正实根. (1) 存在性 微分中值定理 (2) 唯一性 对可导函数 f(x), f (x)=0的两实根之间, 在方程 的一个实根. 罗尔定理还指出, 至少存在方程 满足罗尔定理的条件. 微分中值定理 矛盾, 故假设不真! 例 试证方程 分析 注意到: 微分中值定理 证 设 且 罗尔定理 即 试证方程 微分中值定理 注 拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 微分中值定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 几何解释: 分析 定理的结论就转化为函数 化为 罗尔定理. 微分中值定理 在该点处的切线 平行于弦