海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题.doc

2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题 （2006年5月21日上午9：00~10：30） 一、填空题：（共8小题，前4小题每题6分，后4小题每题9分，满分60分） 1、如图，AB是单位圆O的直径，过点B作圆O的切线CB，再作∠EOB=30°，交CB于点E；自E作ED= 3OB，连接AD，则AD的长为 （精确到0.0001）。 2、天文学中，一个恒星年E = 365.256天，月球绕地球一周所需时间称为一个恒星月，其大小表示成T=27.322天。而月球绕地球运动时，我们所看到的月亮月貌变化以满月，半月，镰刀形月，望月，新月，…… 又回到满月，这样一个周期的时间称为朔望月，其大小用字母S表示，E，T，S满足会合运动方程： ，由此可得，S= 天（精确到0.001天）。 3、有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式： 除以7的余数，其中c表示年的前面两个数字（即世纪），y表示年的后两位数字，d表示日，m表示月对应的数字，见下表： 月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ x ] 表示不超过x的最大整数。则2008年6月18日是星期 。 4、实数x，y，z （x ≠ y）满足，则 。 5、已知，则实数a的取值范围是 。 6、若正方形内接于由y = sinx (0≤x≤) 图像与x轴所围图形内，那么，这个正方形的边长为 （精确到10-9）。 7、2005年12月15日，中密苏里州大学的Curtis Cooper 和Steven Boone教授发现了第43个麦森质数230402457 – 1，这个质数是 位数；它的末两位数是 。 8、一个正整数其立方数的开头数字是200，末尾数字是6，这样的正整数最小是 。 解答以下三题必须写出解题的必要步骤。 二、（本题满分20分） （1）画出函数的图像； （2）如果关于x的方程 有4个实数根，求实数a的取值的集合。 三、（本题满分20分） 设数列的通项为，n=1，2…，求数列的最小项。 四、（本题满分20分） n为大于1的正整数，若存在正整数i（i＜n），使得 是一个完全平方数，则称n为“TI数”。例如，由（12+22+…+92）–（102+112）=82，知11是“TI数”。问：46，36，26是不是“TI数”？为什么？ 2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛 团体赛试题 （2006年5月21日上午11：00~11：30） 解答本试卷必须写出解题的必要步骤或计算器的算法。 一、（本题满分20分） 对于正整数n，设f(n)为n2的各位数字之和。 （1）求f (2006)； （2）若f(n) ≥ 30，求n的最小值。 二、（本题满分20分） 4个实数a，b，c，d满足： a ≥ b ≥ c ≥ d； a + b + c + d = 9； a2 + b2 + c2 + d2 = 21 。 求证： （1）a + b ≥ 5； （2）ab – cd ≥ 2 。 三、（本题满分20分） 方程在区间 内有多少个实根？