不等式的一个母题.doc

Y.P.M数学竞赛讲座 1 不等式的一个母题 本文给出三元代数不等式与三角形的三角不等式的联系与互换,试图给出三元代数不等式的母题及其证明思路. Ⅰ.预备知识: 1.三角形中的等式: [例1]:在△ABC中,求证:⑴tantan+tantan+tantan=1;⑵cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1; ⑶tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; [解析]: [例2]:在△ABC中,求证:⑴sinA+sinB+sinC=4coscoscos;⑵cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin;⑶sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC;⑷cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC;⑸cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC =1. [解析]: 2.琴生不等式: 1.凸凹函数的定义:⑴若x1,x2∈D,不等式≤f()恒成立,等号当且仅当x1=x2时成立.则称f(x)是D内的凸函数;⑵若x1,x2∈D,不等式≥f()恒成立,等号当且仅当x1=x2时成立.则称f(x)是D内的凹函数; 2.凸凹函数的性质(琴生不等式):⑴若f(x)是凸函数,则:≤f(),等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立;⑵若f(x)是凹函数,则:≥f(),等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立. 3.凸凹函数的判定:⑴f(x)是D内的凸函数x∈D,(x)≤0恒成立;⑵f(x)是D内的凹函数x∈D,(x)≥0恒成立; 3.三角形中的不等式: 1.琴生不等式法 [例1]:在△ABC中,求证:cot+cot+cot≥3; [解析]: 练习: 1.在△ABC中,sinA+sinB+sinC≤;cosA+cosB+cosC≤;sin+sin+sin≤;cos+cos+cos≤; 2.在△ABC中,tan+tan+tan≥; 3.在锐角△ABC中,cotA+cotB+cotC≥; 2.基本不等式法 [例2]:在△ABC中,求证:0sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤. 2 Y.P.M数学竞赛讲座 [解析]: 练习: 1.在锐角△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC≥3; 2.在△ABC中,tan2+tan2+tan2≥1. 3.在△ABC中,sinAsinBsinC≤;cosAcosBcosC≤;sinsinsin≤;coscoscos≤; tantantan≤; 3.恒等变换法 [例3]:在△ABC中,求证:cosA+cosB+cosC1. [解析]: 练习: 1.在△ABC中,≤sin2+sin2+sin21;2cos2+cos2+cos2≤; 2.在△ABC中,0sin2A+sin2B+sin2C≤;≤cos2A+cos2B+cos2 3.在△ABC中,sin2A+sin2B+sin2C≤. 4.内角变换法 [例4]:在△ABC中,求证:sin+sin+sin1. [解析]: 练习: 1.在△ABC中,cos+coscos. 2.在锐角△ABC中,cos+cos+cos1+sin+sin+sin. 3.在锐角△ABC中,cos+cos+cos2. 5.边角转换法 [例5]:在△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC≥4sinAsinBsinC. [解析]: 练习: 1.在△ABC中,求证:sinC≥sinAcosA+sinBcosB. 2.在△ABC中,求证:sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≥2sinAsinBsinC. 3.在△ABC中,求证:++≥4. 6.代数转换法 [例6]:在△ABC中,求证:++≥. Y.P.M数学竞赛讲座 3 [解析]: 练习: 1.在△ABC中,++≥2. 2.在△ABC中,求证:++≤1. 3.在△ABC中,++≥2. Ⅱ.母题应用: 1.x+y+z=1. [例1]:(2005年法国数学奥林匹克试题)设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:++≤. [解析]: [例2]:(2008年加拿大数学奥林匹克试题)已知三个正数a,b,c满足:a+b+c=1,求证:+