第五章 走时数据的反演.doc

PAGE PAGE 69 第五章 走时数据的反演 在上一章我们根据已知的速度结构对射线追踪和走时曲线的计算问题进行探讨，推导了波的速度只随深度变化的一维速度模型的射线追踪的表达式。三维结构的射线追踪虽然较复杂，但它遵循的原则是类似的。现在我们来研究根据一些观测走时数据，通过反演得到可解释走时数据的速度结构的问题。像人们所设想的那样，反演比前面的问题复杂得多。在全球和地壳结构的研究中，地震学家采取的策略一般是把问题分为两个部分： （1）根据所有可用的数据确定一维的“平均”速度模型。这一般是一个非线性问题，但因为我们要求解的是随深度变化的维一维函数，故比较易于处理，分析没有超出这个范围。 （2）如果有足够数量的三维射线的覆盖，把一维模型作为参考模型，对每个数据，把观测的时间减去预测的时间，计算走时残差。对相对于参考模型速度扰动的这些走时残差进行反演就得到三维的模型。如果速度扰动足够小，就可以把问题线性化，即使对大量的数据组，都是可计算的。这是层析反演方法的基础。 现在依次考虑上述的每个问题。我们把地震定位问题推迟到这章的最后再讨论，现在假定震源位置已经精确地知道。 5.1 一维速度反演 在开始反演前有必要设想一下怎样根据走时得到一维的速度结构。假定我们有一个没有三次往返、或没有低速区的简单的走时曲线。曲线上的每一点有一斜率，它给出了射线在转折点处的速度。于是，我们必然知道存在一个特定的速度，问题是这是何处的速度。这相当于确定走时曲线上每一点相应的深度。为此，我们必须知道所论及的深度以上的速度结构。在地表，这是已知的，这使我们的方法可以向下做下去。我们知道在起点（震源）的深度（零）和速度（曲线的斜率）。然后，我们可以研究曲线上与其邻近的点，计算这一点的速度，找出预测的走时曲线通过观测点所相应的深度。按这方法，我们可以沿曲线连续做下去，直到深部。 然而，这未必是一个严格的方法，有若干没有回答的问题。总是能得到一个速度模型吗？是否存在不止一个的速度模型，可预测给出同样的走时曲线？现在我们来对这些问题进行讨论，这通常可仿效Aki和Richards（pp:643-651）的论述，读者可更详细地查阅这些论述。 回顾一下第四章关于一维速度模型的从地表—地表的走时和距离的公式： （5.1） 假定有给定的完整的曲线。通过测量曲线的斜率，可以得到，从而得到。我们的目的是反演。 上面的反演问题与Abel在1826年解决的很老的问题相似。Abel的问题是查明斜坡的形状，给出球沿斜坡上滚，然后再返回的长度有多大的测量结果，结果是球的初速度的函数（用了早期的物理学问题的不真实的假定：球没有摩擦，没有转动惯量，粘附在斜坡上，不会弹起来）。可以按动能与势能相等，根据初速度计算球可能达到的最高点。 Abel阐明了可根据—积分变换得到解： （5.2） （5.3） 这里是球的最高点，是走时。用作为积分变量，可以把（5.1）式的方程表达为类似的形式： （5.4） 这里是时的慢度。现在将其与（5.2）和（5.3）式比较，令，，和，即得到： （5.5） 分部积分，得到： （5.6） 1903-1910年就有三个研究人员在地震学研究中独立推导出方程（5.5）和（5.6）式，称为赫格劳兹—维歇尔—贝得曼公式（往往称为赫格劳兹—维歇尔公式）。对球状地球，可推导出类似的公式（参见Aki和Richards，P.648）。为了用这方程来得到速度的深度函数，我们选取慢度的值。积分上限表示射线参数的射线的射程，是根据曲线得到的。然后对，从0到积分（注意在（5.6）式中是的函数）。这就给出了依赖于慢度的深度。以不同的值重复作这样的计算，就可以得到，从而得到所想要的速度剖面。 当有低速区时，这些公式是有问题的。在这种情况下，不连续，没有唯一的解。对这种情况，传统的做法是设想在低速区存在若干有不同速度的均匀层。由于没有射线在这些层里转折，因此低速区的这些层可以任意移来移去，穿过低速区的射线的积分的走时和距离不会改变。用这方法也不能唯一地确定低速区的厚度，而是把它的极限作为最大的厚度。 不论解析多么完全，在地震学中很少用赫格劳兹—维歇尔（HW）公式，这至少有两个原因：首先，HW假定我们有已知的连续的曲线，而实际上我们总是只有有限的走时点。这意味着走时曲线必须在这些数据之间进行内插，这些内插方案的差距导致于有不同的速度剖面。实际上，会有无数个稍有不同的速度模型，它们都适合于有限数目的点。然而，更严重的问题是实际的地震数据一般多