求幂级数的收敛半径与收敛域_文档.docVIP

1．求幂级数的收敛半径与收敛域： 解：故级数的收敛半径为:而当时,级数发散,所以级数的收敛域为 解: 故级数的收敛半径为当时,级数收敛,故级数的收敛域为 （3），故收敛半径为：，收敛域为 解:故级数的收敛半径为收敛域为 （5），，故收敛半径为 。当时，级数 收敛，当时，级数 发散，故级数的收敛域为：。 （6），则有，而，故 级数的收敛半径为：而当级数发散，故级数的收敛区域为（-1，1）。 2．求幂级数的和函数：（1）设原级数的和函数为,则 （1） （1）式右端级数的收敛半径为：，而当和时，原级数发散，故原级数的收敛域为：（-1，1）。 又（1）式右端级数的和函数为：，进而原级数的和函数为： （2）级数的收敛半径为：。当时，级数发散，所以级数的收敛域为：（-1，1）。设其和函数为,，则 3．证：因收敛，则当时， 依题意，上式右端级数当收敛，故在左连续，进而有 。 取，则在时收敛，又级数当时收敛，由上述结论，即。 当x=R=1时收敛，由上述结论，即。 4.证明:设为幂级数在上的和函数,若为奇函数,则仅出现奇次幂的项;若为偶函数,则仅出现偶次幂的项. 证:由题设有 若为奇函数,则有进而有 即得 5．设函数在区间内的各阶导数一致有界，即存在正数，对一切有 证明：对内任一点与有 证：由泰勒公式，得 (1) 其中（介于与之间）. 由题设,有 (1)式中,令即得 . 6.利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在处的幂级数展开式，并确定收敛于该函数的收敛区域 解:因所以 解:因所以 (3) . 因 故 即得 (4) (5) 注意到,故得 （6） 所以 （7）所以 (8) (略) （9）设注意到应用的展开式，可得的展开式。 7. 求下列函数在处的泰勒展开式: (1) 解: 所以 (2) 解: 即