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1.求幂级数的收敛半径与收敛域:
解:故级数的收敛半径为:而当时,级数发散,所以级数的收敛域为
解: 故级数的收敛半径为当时,级数收敛,故级数的收敛域为
(3),故收敛半径为:,收敛域为
解:故级数的收敛半径为收敛域为
(5),,故收敛半径为
。当时,级数
收敛,当时,级数
发散,故级数的收敛域为:。
(6),则有,而,故
级数的收敛半径为:而当级数发散,故级数的收敛区域为(-1,1)。
2.求幂级数的和函数:(1)设原级数的和函数为,则
(1)
(1)式右端级数的收敛半径为:,而当和时,原级数发散,故原级数的收敛域为:(-1,1)。
又(1)式右端级数的和函数为:,进而原级数的和函数为:
(2)级数的收敛半径为:。当时,级数发散,所以级数的收敛域为:(-1,1)。设其和函数为,,则
3.证:因收敛,则当时,
依题意,上式右端级数当收敛,故在左连续,进而有
。
取,则在时收敛,又级数当时收敛,由上述结论,即。
当x=R=1时收敛,由上述结论,即。
4.证明:设为幂级数在上的和函数,若为奇函数,则仅出现奇次幂的项;若为偶函数,则仅出现偶次幂的项.
证:由题设有
若为奇函数,则有进而有
即得
5.设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数,对一切有
证明:对内任一点与有
证:由泰勒公式,得
(1)
其中(介于与之间).
由题设,有
(1)式中,令即得
.
6.利用已知函数的幂级数展开式,求下列函数在处的幂级数展开式,并确定收敛于该函数的收敛区域
解:因所以
解:因所以
(3) .
因
故
即得
(4)
(5)
注意到,故得
(6)
所以
(7)所以
(8) (略)
(9)设注意到应用的展开式,可得的展开式。
7. 求下列函数在处的泰勒展开式:
(1)
解:
所以
(2)
解: 即
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