函数极限存在的条件.doc

§3 函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只 对 ?这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有 时成为海涅（Heine）定理。 定理3.8（归结原则）设 ?在 ?内有定义。?存在的充要条件是：对任何含于 ??且以为极限的数列 ，极限 ?都存在且相等。 证? [必要性] ?设，则对任给的，存在正数 ，使得当?时， 有 。 另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当 ?时， 有 ，从而有 。这就证明了 。 (充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出 事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在 一点，尽管 ，但有 。现依次取 ，，，…，，…，则存在 相应的点 ，，，…,…,使得，而，。 显然数列 ?且 ，但当时不趋于。这与假设相矛盾，所以必 有。 注1? 归结原则也可简述为： 对任何（）有。 注2????????? 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列 注3????????? 与，使? ?与 ?都存在而不相等，则 ?不存在。 例1? 证明极限 ?不存在。 证? 设，（），则显然有 ，（） ，（）。 故有归结原则即得结论。 函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振 荡，而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。 对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的 形式，现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9设函数在点的某空心右邻域 有定义。的充要条件是：对任何以 为极限的递减数列，有。 这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改， 以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下： 定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。 证? 不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理，存在，记为。 下证 。 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。取 ，则由 的递增性，对一切=，有 另一方面，由，更有。从而对一切有 这就证得 。 最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。 定理3.11（柯西准则）设在 ?内有定义。存在的充要条件是：任给，存在 正数，使得对任何，，有 ． 证 必要性? 设，则对任给的，存在正数，使得对任何?有 ?。于是对任何 ，?有。 充分性? 设数列 且 。按假设，对任给的，存在正数，使得 对任何，有。由于（），对上述的，存在， 使得当 ?时有 ，, 从而有 . 于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即. 设另一数列?且, 则如上所证, ?存在, 记为.? 现证. 为此,考虑数列:,,,,．．．,,,．．．易见?且 ? (见第二章§3例7). 故仍如上所证, 也收敛. 于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。所以由归结原则推得 按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限 ?不存在的充要条件：存在 ，对任何 （无论多么小），总可找到，，使得 ． 如在例１中我们可取，对任何设正整数 ，令 ，，则有 ， ，而 于是，按柯西准则极限 ?不存在．