大学物理课件刚体定轴转动习题课.ppt

例、一个半径为R，质量面密度为σ的薄圆盘上，有两个半径均为R/3的圆孔，两圆孔中心距圆盘中心的距离均为R/2，如图。求此圆盘对于通过圆盘中心而与盘面垂直的轴的转动惯量。 解：用“补偿法”计算。正质量的大圆盘对盘中心轴的转动惯量为： 力矩的计算 一般情况下，刚体对某转轴的力矩可以用公式M=Frsinφ计算，有时刚体上各点所受的力大小不等、或者方向不同、或者力臂不同，则需要用积分方法计算。 分析：唱片上的摩擦力不是作用在一点，而是分布在整个唱片和转盘的接触面上。各部分的摩擦力方向都是不同的，垂直与它的径向。因为唱片各部分所受摩擦力的力臂不同，所以摩擦力矩用积分方法。积分时，面元的选取很关键。 面元质量为： 解法二、把唱片分成许多同心圆环，任取半径r---r+dr的圆环作为面元，其上各点所受的摩擦力沿着圆环的切线方向。如图。对转轴的力臂都相同。因此圆环所受的摩擦力矩为： 根据转动定律可知，唱片在此摩擦力矩作用下做匀加速运动，其转动的角加速度为： 在这段时间内，摩擦力矩做功： 转动定律的应用 这类问题多见于含有定轴转动的刚体和可视为质点的物体组成的系统的力学问题。处理这类问题的方法和处理质点力学问题相同，即先选取研究对象，分析各隔离体所受的力或者力矩，画出示力图，判断各隔离体的运动情况，根据牛顿运动定律或者转动定律分别列出运动方程，还要加上运动状态之间的联系，比如线量与角量之间的关系。 分析：电扇的恒定功率为P，转速为ω时，则其电动力矩为M=P/ω，电扇在此力矩与阻力矩作用下运动。当断开电源后，只受到阻力矩的作用，电扇将做减速转动，最后停止，由运动学关系可以算出电扇转过的角度。 分离变量后积分： 分离变量后积分： 刚体的角动量定理和角动量守恒定律的应用 这两条规律的地位与质点力学中的动量定理和动量守恒定律相当。 应用角动量定理时，必须隔离刚体，分析受力情况，确定各隔离体在过程中所受的外力矩以及作用前后的角动量，列出关系式。 应用角动量守恒，必须分析是否符合守恒的条件（系统所受的合外力矩为零）。还必须注意，系统的角动量是对同一个转轴而言的，且角速度ω必须对惯性系而言的。 例、质量为M，半径为R的转台，可以绕通过中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为m的人，站在离中心r处（rR），开始时，人和台处于静止状态，如果这个人沿着半径为r的圆周匀速走一圈，设他相对于转台的运动速度为u，如图。求转台的旋转角速度和相对地面转过的角度。 解：对于人和转台的系统，当人走动时，系统没有受到对竖直轴的外力矩，系统对该轴的角动量守恒。设人相对于地面的速度为 v，转台相对于地面的转速为ω，于是有： 式中负号代表转台转动的方向和人在转台上走动的方向相反。根据题意，u是常量，所以ω也是常量，即转台做匀速转动。 角动量守恒定律和机械能守恒定律的综合应用 角动量守恒和机械能守恒定律适用的条件不同，在应用时必须根据条件而有所选择。 例、长为 质量为m1的匀质细杆，可绕通过O点垂直于纸面的轴转动，令杆自水平位置静止摆下，在铅直位置处与质量为m2的物体发生完全非弹性碰撞，如图，碰后物体沿摩擦系数为μ的水平面滑动，求此物体滑过的距离以及杆上升的角度。 分析：可以分成三个过程。（1）杆从水平位置摆到竖直位置，只有重力做功，所以机械能守恒；（2）杆与物体发生碰撞。把杆和物体作为一个系统，没有受到外力矩的作用，所以系统角动量守恒。系统的动量不守恒。（杆受到轴力的外力作用）；（3）物体和杆分别运动。物体滑动，摩擦力做功，可以由功能原理求距离，杆上升过程，机械能守恒。 杆与物体发生完全非弹性碰撞时，他们将拥有共同的速度v，由于系统没有受到外力矩的作用，所以角动量守恒，设碰撞后的角速度为ω’，有： 设物体在地面上滑过的距离为s，由功能原理得到： 解：角动量守恒，机械能守恒。 先得到ω的表达式： 由此可以得到： 设摆上升的角度为θ，由机械能守恒定律得到： 最后得到： 分析：对于环和杆所组成的系统，仅受到重力和轴力的作用，所以系统对A点的角动量守恒。而且这些外力不做功，所以系统的机械能守恒。由这两个定律就可以求出杆的旋转角速度和环的运动速度。 例. 质量为m的小圆环套在一长为 质量为M 的光滑均匀杆AB上,杆可以绕过其A端的固定轴在水平面上自由旋转。开始时杆旋转的角速度为ω0而小环位于A处，当小环受到一微小扰动后，即沿杆向外滑行，求：小环脱离杆时环的速度大小和方向？ 注意！ +相对运动 小环脱离杆时的速度是由环沿杆的速度和杆旋转时环沿圆周运动的切向速度合成的结果，所以环脱离杆的速度与杆之间有一个夹角。 进而得到： 所以，v的方向与杆的夹角为： 例：质量为M，半径为 R 的水平均匀圆盘，可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动，盘上有一质量为m的昆虫。 (1)初始时，昆虫与盘均静止，