量子力学讲义chapter3.docVIP

一维定态问题 现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。 当 则薛定谔方程 有特解 而 满足 事实上，当有一定性质时，如=++或=时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。 在解一维问题之前，先介绍一些解的性质。 需要指出，现讨论的是实函数，从而保持不含时间的S.eq中E为实数。 §3.1一般性质 设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为。于是有 。 由于是满足一定条件或边条件下的解，所以不是所有E都有非零解。 （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。 简并度（degeneracy）：一个力学量的测量值，可在n个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一测量值是具有n重简并度。 （某能量本征值有n个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n重简并的）。 证：假设是具有同样能量的波函数 (1) (2) 从而得 于是 (c是与x无关的常数)。 对于束缚态 （或在有限区域有某值使） 所以c＝0， 从而有 若不是处处为零，则有 从而有 。 二者仅差一常数因子，所以是同一波函数。也就是说，一个E只对应一个独立的波函数，因此是不简并的。 应当注意 ⅰ. 分立能级是不简并的。而对于连续谱时，若一端，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。 ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数c≠0）。 ⅲ．当V(x)有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致处处为零。 推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。 证 令 （ 都是实函数） 则 这表明和都是能量为E的解。但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而和应是线性相关的。所以 因此， 所以波函数只能取这一形式（A,都为实数，为实函数）。 由此可得另一推论：一维束缚态，其几率流密度矢恒为0（因波函数为实函数）。 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 （3） （4） 所以 从而证明得 。 这在物理上是显然的，因如果不正交，那就有（是与正交的）。从态叠加原理看，体系可能处于态，也可处于态，即在中可测得的本征值为E1，其几率∝，这与是能量E2的本征态的假设相矛盾，所以必须为零，与一定正交。 （3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（即有n个x点使 ，不包括边界点或∞远）。 基态无节点（当然处处不为零的波函数没有这性质，如（它是简并的）），同样，多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）。 （4）在无穷大位势处的边条件：项先讨论有有限大小的间断点，由方程 即 由于连续，连续，或有些点是有限大小的间断点，因此存在，即 存在，也就是 的导数存在，所以连续，即波函数导数连续。 而在位势是无穷时又如何呢？ 设 令 , 所以， 得解 要求波函数有界，所以C＝0， 要求波函数处连续，且导数连续 。 当E给定， 所以， ∴ 于是，当 , 方程有解 。 这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。但是，几率密度和几率流密度矢总是连续的。 §3.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题 当 令 ， 由波函数有界C＝0 在处，波函数连续，波函数导数连续，解得 , 定态解： 。 我们看到，对E没有限制，任何E都可取，即取连续值，因它不是束缚态（，并不趋于0），但它不简并（因，）。 讨论：A. 处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子力学粒子，当然随x增大发现它的几率下降； B．区域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波, 且振幅相同，构成一驻波。 这一驻波，在（）处为0。