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1
本节知识点
根式 (一般的,如果,那么叫做的次方根,其中.)
的任何次方根都是,记作
2、的讨论
分数指数幂
有理指数幂运算性质
①
②
③
指数函数的概念
一般的,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域是.
6、指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质:
图象
性质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)过点 ,即时
(4)单调递增
(4)
指数与指数函数试题归纳精编
(一)指数
1、化简[]的结果为 ( )
A.5 B. C.- D.-5
2、将化为分数指数幂的形式为( )
A. B. C. D.
3、化简(a, b为正数)的结果是( )
A. B.ab C. D.a2b
4、化简,结果是( )
A、 B、 C、 D、
5、=__________.
6、=__________.
7、=__________。
8、=__________。
9、 =__________。
10、若,求的值。
11、已知=3,求(1); (2);
(二)指数函数
题型一:与指数有关的复合函数的定义域和值域
含指数函数的复合函数的定义域
由于指数函数的定义域是,所以函数的定义域与的定义域相同.
对于函数的定义域,关键是找出的值域哪些部分的定义域中.
含指数函数的复合函数的值域
在求形如的函数值域时,先求得的值域(即中的范围),再根据的单调性列出指数不等式,得出的范围,即的值域.
在求形如的函数值域时,易知(或根据对限定的更加具体的范围列指数不等式,得出的具体范围),然后再上,求的值域即可.
【例】求下列函数的定义域和值域.
(1); (2); (3).
题型二:利用指数函数的单调性解指数不等式
解题步骤:(1)利用指数函数的单调性解不等式,首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式.
(2)
【例】(1)解不等式; (2)已知,求的取值范围.
例2.比较大小
题型三:指数函数的最值问题
解题思路:指数函数在定义域上是单调函数,因此在的某一闭区间子集上也是单调函数,因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值.需要注意的是,当底数未知时,要对底数分情况讨论.
【例】函数在上的最大值比最小值大,求的值.
题型四:与指数函数有关复合函数的单调性(同增异减)
1、研究形如的函数的单调性时,有如下结论:
(1)当时,函数的单调性与的单调性相同;
(2)当时,函数的单调性与的单调性相反.
2、研究形如的函数的单调性时,有如下结论:
(1)当时,函数的单调性与的单调性相同;
(2)当时,函数的单调性与的单调性相反.
注意:做此类题时,一定要考虑复合函数的定义域.
【例】1.已知,讨论的单调性.
2.求下列函数的单调区间.
(1); (2)
题型五:指数函数与函数奇偶性的综合应用
虽然指数函数不具有奇偶性,但一些指数型函数可能具有奇偶性,对于此类问题可利用定义进行判断或证明.
【例】1. 已知函数为奇函数,则的值为 .
2. 已知函数是奇函数,则实数的值为 .
3. 已知函数,判断函数的奇偶性.
题型六:图像变换的应用
1、平移变换:若已知的图像,(左加右减在,上加下减在)
(1)把的图像向左平移个单位,则得到的图像;
(2)把的图像向右平移个单位,则得到的图像;
(3)把的图像向上平移个单位,可得到的图像;
(4)把的图像向下平移个单位,则得到的图像.
2、对称变换:若已知的图像,
(1)函数的图像与的图像关于轴对称;
(2)函数的图像与的图像关于轴对称;
(3)函数的图像与的图像关于坐标原点对称.
【例】1. 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数的图像经过怎样的变换得到的.
①;②;③;④;⑤;⑥
2. 函数与的图像可能是( )
A B C D
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