1.3.2函数的奇偶性上课讲义.ppt

1.3.2 奇偶性 x y 0 观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(x)=x2 f(x)=|x| 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. 1．偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数. f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 3.奇偶性 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 注意： （1）函数的奇偶性是函数的整体性质； （2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） （3）如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则它是偶函数。 （4）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则它是奇函数。 【典例分析】 【例1】 判断下列函数的奇偶性： f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝5 ； (6) f (x)＝0. （注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x)＝0常函数. 前提是定义域关于原点对称）. 【归纳】 1.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数 【活学活用1】 判断下列函数的奇偶性： (2) (5) f(x)=x3+2x； (6) ？思考： 讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性 （1） 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部图象，求f (－4).（2）如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小. 【例2】 （1） （2） * *