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N阶行列式的计算方法
王宝华
(西北师范大学 数学与统计学院 2011级数学3班)
摘要 本文对n阶行列式的一些常用计算方法进行总结,说明如何根据行列式的特征选用适当的方法进行求解,并给出一些典型的例题加以说明.
关键词 n阶行列式;计算方法
行列式在数学的许多分支里都有应用,它的计算问题就显得很重要.大多低阶的行列式计算不是太难,但是高阶行列式的计算却不是太好把握.高阶行列式的计算方法已有许多研究成果.一般来说,这些方法在解题过程中大多都是一起综合运用,一道题可以用多种方法求解,只是求解过程的难易程度有所不同,因此应该根据行列式的特征选用适当的方法.本文就对n阶行列式的一些常用计算方法进行一个总结,并给出一些典型的例题加以说明.
1定义法
对于如下形式或者可以化为此形式的行列式
=
我们可以选择用n阶行列式的定义来计算. 利用行列式的定义
=, t=
进而求得结果为
=
2化三角形法
三角形法也是解行列式的一种常用方法,它是根据行列式的性质把要求的行列式化为下三角或者上三角行列式,进而再求解的方法.尤其是箭头形式的行列式,我们一般采用将它化为上三角或下三角形式的行列式更容易计算.下面给出一个例子. 计算行列式
我们观察上面的行列式,依次从最后一行开始加到第一行,得到新行列式
.
下面来看个简单的实例
例1 计算行列式
解
3按行或列展开法(降阶法)
按行按列展开法也就是把n阶行列式化为若干个n-1阶行列式来计算,这样将比直接计算n阶的更容易.D等于它的任意行(列)元素与该行(列)元素各自对应的代数余子式乘积之和.即
其中是的代数余子式,是的余子式,其中
如一个n阶行列式可以用如下公式
=
或者
来计算.
例2 计算行列式
解 将行列式D按第5列展开,得
再按第1列展开上式右端的行列式,得
4加边法(升阶法)
有时计算行列式时,特意把原行列式加上一行一列,变为n+1阶特殊形式的行列式再进行计算.这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法.当然,加边后必须保持原行列式的值不变,而且要使所得的高一阶行列式较易计算.因此要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.下面给出一个例子
加边得到结果如下
上面行列式为加边后的行列式,经化简得
上式=
5数学归纳法
数学归纳法大多用于行列式的证明,一般情况下在计算行列式的值时是先用不完全归纳法猜想出行列式的值,再用数学归纳法给出证明.下面给出一个计算行列式值的例子
例3 证明下列行列式
证 当n=1,2时,有
结论显然成立.
现在假设结论对小于等于n-1时也成立,即
成立.
现在将按第一列展开,得
问题得证.
6递推法计算行列式
递推法是计算n阶行列式的一种较实用的方法,是把n阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来,对n阶行列式找出与或与之间的一种依次递推关系,既递推公式,这里我们先给出降阶递推法的思想:
若则有.
若设的根是和,则于是有
若则
若则得到
依次推下去得到最终结果
下面给出一个例子
例4 证明
证明 将上面行列式按第一列展开得到如下
由此得到递推公式:由此公式可递推得到
问题得证.
下面给出一个例题
例5 (2003年福州大学研究生入学考试试题)对行列式
证明:其中
证明 按第一列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开得
其中和是的递推关系式.若按上面的递推关系从阶逐阶往低阶计算,则较复杂.因此可以将其变为
或者
然后反复用低阶代替高阶,则有
同理得
由上面两式子可得
7利用范德蒙德行列式计算行列式
范德蒙德行列式如下
.
这种方法我们也称为公式法.因为有些情况下我们可以将一个复杂的行列式加一行一列构造成范德蒙德行列式,使它容易求值.例如下列行列式
我们就可以给此行列式加一行一列构成
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