chap3-3刚体定轴转动定律 角动量守恒定律.ppt

* 同学们好！ 一.质点系角动量定理 各质点的ωi可以不同，但都绕oz轴转动 §3-3 定轴转动刚体的角动量、转动定律与角动量守恒定律 o z 对mi： 在z轴上投影： 对质点系： 在z轴上投影： 证明：质点系中成对内力矩之和为零 对mi，mj两个质点来说，它们之间的内力矩之和为： 二.刚体定轴转动定律（角动量定理） 质点系： 当ωi＝ω＝常数 定义：刚体定轴转动惯量 刚体定轴转动角动量 讨论： （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。 （3）J 和质量分布有关； （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； 惯性大小的量度； 转动惯量是转动 （1） M 一定，J （与牛顿第二定律比较） 质点组 连续分布刚体 三.转动惯量的计算公式 例题 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。 解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如 棒的质量线密度为?，这长度元的质量为dm=?dx。 （1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有 因?l =m，代入得 （2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有 O′ O O′ O （3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂 直时，我们有 这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。 总结：J与以下几点有关： （1）? 与刚体总质量有关； （2）? 与质量分布有关； （3）? 与转动轴的位置有关。 回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为 rG 称为刚体对该定轴的回转半径。 就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在离轴距离为rG 的圆环上。 注意：求回转半径时，一般地不能把物体的质量看作集中在它的重心（质心）上。 例 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . O R O 而 解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量 P O O 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 C O 例:圆盘对P 轴的转动惯量 P 上例: 质量为m、长为 l 的均匀细棒对三种转轴的转动惯量： （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。 （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直 （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直 匀质矩形薄板 转轴通过中心垂直板面 I = (a + b ) 2 2 m 12 匀质细圆环 转轴通过中心垂直环面 I = m R 2 匀质细圆环 转轴沿着环的直径 2 I = 2 m R 匀质厚圆筒 转轴沿几何轴 I = (R1 + R2 ) 2 2 m 2 匀质圆柱体 转轴通过中心垂直于几何轴 m I = R + 2 2 m 12 4 L 匀质薄球壳 转轴通过球心 2 I = 2 m R 3 例题：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mf。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 m1 m2 T2? T1? T1 T2 G2 G1 a a a m1 m2 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为 T2、 T2’(T2’= T2) 因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程 式中?是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即 从以上各式即可解得 而 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M?=0时，有 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能较精确地测出a来。 例题 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为?，令圆盘最初以角速度?0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多