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第三讲　数据包络分析 ——评价相对有效性的DEA模型 主讲：董庆来; 例1 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表;例3 (多指标评价问题)某市教委需要对六所重点中学进行 评价,其相应的指标如下表所示,表中的生均投入和非低收入 家庭百分比是输入指标,生均写作得分和生均科技得分是输 出指标.请根据这些指标,评价中哪些学校是相对有效的.;1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯), W.W.Cooper(库伯), 及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.;1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford) 和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一 模型用来研究生产部门间的“技术有效性”. ;数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域. 查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一. DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行等方面. ;目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效). DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。; 例1 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据???下表;对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系数。;我们限定所有的hj值不超过1，即 ，这意味着： 若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的， 若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。;这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。;设; 设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重， 则第j个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为 其生产效率定义为: 于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。 ;我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj≤1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的;☆评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型 假设有n个部门或单位(称为决策单元,Decision Making Units),这n个单元都具有可比性.对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源”之后的产出）。 这n个企业及其输入-输出关系如下： ;x11;X1;而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：; 这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令 ;（2）;定义1: 若该模型中　　　　　则称决策单元 j0 是弱DEA 有效的. 定义2: 若该模型中存在最优解　　　　　　　并且, 有 则称决策单元 j0 是弱DEA有效的.;例2 某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析，确定相对优势的产业，为制定地区产业发展战略服务。;对建筑业的线性规划模型为;其他行业的模