第三章 随机向量幻灯片.ppt

L L , 2 , 1 } | { , , 2 , 1 1 1 2 2 + + = = = = = = = - - - - i i j pq pq q p i X j Y P Y i X i i j i j 的条件分布律为 下 在条件 对于固定的 上一页 下一页 返回 2、二维连续型随机变量的条件分布 定义7： 对固定的实数y，设对于任意给定的正数ε， P{y-εY≤y+ε}0,且若对于任意实数x，极限 存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数， 记作P 或记为 . 同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数 上一页 下一页 返回 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)0，则有： 亦即 上一页 下一页 返回 类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为 若记 为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知： 上一页 下一页 返回 且有边缘概率密度 当－1y1时有： 解： (X,Y)的概率密度为 例2： 设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服从均匀分布，求条件概率密度 。 上一页 下一页 返回 特别y=0和y= 时条件概率密度分别为 类似于条件概率的乘法公式，也有 上一页 下一页 返回 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于 第四节 随机变量的独立性 定义8： 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。 由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件{ x1X≤x2}与事件{ y1Y≤y2}相互独立”。 上一页 下一页 返回 结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。 P{x1X≤x2 ,y1Y≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) =FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1) =[ FX(x2)-FX(x1)][ FY(y2)-FY(y1)] = P{x1X≤x2}P{y1Y≤y2} 所以事件{x1X≤x2}与{y1Y≤y2}是相互独立的。 当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。 上一页 下一页 返回 例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。 X Y -1 0 2 -1/2 2/20 1/20 2/20 1 2/20 1/20 2/20 1/2 4/20 2/20 4/20 问X与Y相互独立吗？ 解: X与Y的边缘分布律分别为 X -1/2 1 1/2 pi. 1/4 1/4 1/2 Y -1 0 2 p.j 2/5 1/5 2/5 逐一验证可知， pij= pi. ·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。 从而X与Y相互独立。 上一页 下一页 返回 例2: 设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求P{X+Y1}。 由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为 于是 解 :设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则 上一页 下一页 返回 第五节 两个随机变量的函数的分布 1、二维离散型随机变量的函数分布 Y 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 例 设（X,Y）分布律为 求 X+Y, X-Y ,XY及X/Y的分布. 解：先列出下表 X 上一页 下一页 返回 P 0 1/3 1/3 1/3 (X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) X?Y 2 3 3 4 X?Y 0 ?1 1 0 XY 1 2 2 4 X/Y 1 1/2 2 1 于是X+Y的分布律为 X+Y 2 3 4 P 0 2/3 1/3 上一页 下一页 返回 同理X-Y的分布律为 X-Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 X/Y 1 2 4 P 0 2/3 1/3 XY及X/Y的分布律分别为 XY 1 2 4 P 0 2/3 1/3 上一页 下一页 返回 设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)， 又Z=g(