固体物理基础能带理论Ⅱ.ppt

§6.4 总结 固体物理的核心问题之一是关于多粒子系统的电子性质，基于单电子近似的能带理论为解释固体中电子的绝大部分性质提供了一个概念框架：按电学性质把晶体分为金属、半导体和绝缘体；不但可以解释晶体的导电性质，也可以解释晶体的光学、磁学和热学性质。因此发展了许多近似方法来计算晶体的能带，这些方法的差别主要在两个方面：一是选择一组合理的函数来表示电子波函数；另一个是采用有效势来近似地代表晶体中的实际势场。 近来在大型计算机的帮助下，采用电子密度泛函代替波函数来计算电子结构取得了许多重大进展。 §6.4 总结 能带论的中心任务是求解晶体周期势场中的单电子薛定谔方程： —— Bloch函数 其解应具有Bloch 函数形式： 所以求解时首先应找出合理的近似方案去表示 或者给出周期势场的可解的近似表达式，求解方程。 §6.4 总结  用自由原子的轨道波函数作为传导电子波函数基础的方法有： 用自由电子平面波波函数作为传导电子波函数基础的方法有： 紧束缚法 原胞法 近自由电子 OPW法 赝势法 能带计算的两种途径： APW法 固体物理基础 § 6.1 能带的计算方法 ◇对于三维的周期场中的单电子问题，通常采用各种近似方法求解。 ◇首先，选取某个具有布洛赫函数形式的完全集，把晶体电子态的波函数用此函数集展开，然后代人薜定谔方程，确定展开式的系数所必须满足的久期方程，据此可求得能量本征值，再依照逐个本征值确定波函数展开的系数。 ◇选择不同的函数集合，有不同的计算方法。借助快速大容量的电子计算机，使实际的计算更快捷。 § 6.1 能带的计算方法 一、平面波方法 平面波方法：以波矢相差一个倒格子矢量的一组平面波作为基函数。 势能是具有晶格周期性的函数，可以展开成傅里叶级数： 其中，Gm是倒格子矢量，Gm=m1b1+m2b2+m3b3 b1,b2,b3是晶体的倒格子基矢，m1,m2,m3是整数。 傅里叶展开系数： 原胞 § 6.1 能带的计算方法 一、平面波方法 展开后代入： 得到本征能量值En(k) ◇平面波方法概念简单，结果物理意义清晰。 ◇缺点是需要大量平面波的组合来表示Bloch函数，计算量大，收敛速度很慢。 § 6.1 能带的计算方法 二、正交化平面波方法 ◇平面波方法计算固体能带的优点是概念简单明了，缺点是收敛很慢，即使借助现代高速大容量的计算机作计算也不现实，于是C．Herring提出了正交化平面波方法。 ◇其基本思想是展开波函数的基不但含有动量k+K较小的平面波成分，还有原子核附近具有大动量的孤立原子波函数的成分，并且与孤立原子芯态波函数组成布洛赫正交，这种基函数称为正交化平面波。 二、正交化平面波方法 1940年 Herring提出了OPW 方法，取波函数为平面波和紧束缚波函数的线性组合，并要求与离子实不同壳层紧束缚波函数正交，从而自然地兼顾了波函数在离子实附近以及在离子之间应有的特征，求解时，往往只需要取几个正交平面波，结果就很好了。 其中： 是一个平面波， 是一个原子波函数，对 求和要遍及所有被电子占据的原子壳层，例如 Na 要对 1s,2s,2p壳层求和，系数 的选择要使代表3s 的 与芯函数 正交。 § 6.1 能带的计算方法 § 6.1 能带的计算方法 二、正交化平面波方法 § 6.1 能带的计算方法 二、正交化平面波方法 使用OPW方法很方便的求出了 Li 的价带，求出了半导体 Si 和 Ge的能带。 从上图可以看出：（a）是平面波，（b) 是离子实波，（c）是正交化平面波。后者本身包括了电子在离子实区的多次振荡特征，已经十分接近真实波函数了。因此正交平面波法是描述价带和导带电子波函数（即外层电子）的好表象，是定量计算能带的重要方法。 § 6.1 能带的计算方法 三、赝势方法 赝势方法：在求解固体的单电子波动方程时，用假想的势能代替离子实内部的真实势能，若不改变电子的能量本征值及其在离子实之间区域的波函数，则这个假想的势能叫赝势。 OPW 方法中，函数 具有我们所要求的特点，在远 离离子实时， 可以忽略不计， 是一个平面波。 在离子实处，原子波函数是显著的，引起快速振荡的作用。 如下图 a 所示。 如果将 代入薛定谔方程并整理各项，则有： § 6.1 能带的计算方法 三、赝势方法 式中： 正交化项起着抵消势能的作用，给出一个弱得多的有效势。 上述结果很有趣，有效势场不是 U，而是 U’，通常 U’U ，起作用的是一个很弱的势U’，被称作赝（假的、伪造的）势给出的波函数叫赝波函数。 § 6.1 能带的计算方法 三、赝势方法 § 6.1 能带的计