数理统计5-大数定律和中心极限定理.ppt

-*- -*- 定理3(与样本均值和样本方差有关的一个分布) 设 X1, X2 ,…, X n 是取自正态总体 分别为样本均值和样本修正方差. 则有 的样本, 证明: -*- ( II ) 两个正态总体 相互独立的简单随机样本. 令 设 与 分别是来 自正态总体 与 的 -*- 则 若 则 -*- 则 相互独立的简单随机样本. 设 与 分别是来 自正态总体 与 的 -*- 与 相互独立 -*- -*- 则称 为简单随机样本. 若总体 X 的样本 满足: (1) 与X 有相同的分布 (2) 相互独立 简单随机样本 它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机 变量X1,X2,…,Xn表示。 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) -*- 设 是取自总体X 的一个样本,　　　　　　为一实值连续函数, 且不含有未知参数, 则称随机变量 为统计量. 若 是一个样本值, 称 的一个样本值 为统计量 定义　　 统计量 -*- 例 是未知参数, 若 ? ,? 已知,则为统计量 是一样本, 是统计量, 其中 则 但 不是统计量. -*- 常用的统计量 为样本均值 为修正样本方差 为修正样本标准差 设 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本,称统计量 -*- 为样本的k 阶原点矩　 为样本的k 阶中心矩　 例如 -*- 注 样本方差 与样本二阶中心矩 的不同　 关系式 1） -*- 常见统计量的性质： -*- 2） -*- 顺序统计量与极差 设 为样本, 为样本值,且 当 取值为 时, 定义 r.v. 则称统计量 为顺序统计量. 其中, 称 为极差　　 -*- 1）样本的经验分布函数　 样本值　 样本值小于x的个数，作 －－－样本的经验分布函数 非降，左连续； -*- 若子样为n维r.v，那么对于每一样本值　 就可作一个经验分布函数，故 是随机变量 ---n次独立重复试验中，事件 发生的频率。 由大数定律， -*- 这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据. 格列汶科进一步证明了：当n→∞时，Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x)，即 这就是著名的格列汶科定理. 定理告诉我们，当样本容量ｎ足够大时，对所有的x, Fn(x)与F(x)之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为1. -*- 直方图　　 离散型　 表示　　　　在n次试验中出现的次数，　 设 为n次独立重复样本　 则 -*- 定义函数：当　 称　　　为在区间［a,b)的图形为［a,b)的 频率直方图．　 (1) 标准正态分布 X的上（下）α (0 α1)分位点 七　数理统计中几个常用的分布 记为 设 相互独立,都服从正态 分布N (0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为n的 分布. 分布的密度函数为 其中伽玛函数 相互独立, 都服从正态分布 则 且 X1，X2 相 这个性质叫 分布的可加性. (1)?? 设 (2) 设 互独立，则 性质 对于给定的正数 称满足条件 为 分位点. 分布的上 的点 分布的分位点 分位点. 分布的下 记为 T～t (n). 服从自由度为 n 的 t 分布. (3) t 分布 设X～N(0,1) , Y～ 则称变量 , 且X与Y相互独立， 当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。 t 分布的密度函数关于x = 0 对称 性质 t 分布的分位点 对于给定的正数 称满足条件 为 分位点。 分布的上 的点 (4)F 分布 的F分布，n1称为第一自由度， 设 X与Y相互独立， 则称统计量 服从自由度为 称为第二自由度，记作 由定义可得 性质 F 分布的分位点 对于给定的正数 称满足条件 为 分布的 的点 上 分位点 分位点. 分布的下 对于给定的正数 称满足条件 分布的 的点 下 分位点 为 同理 例９ 总体 为X的样本， 求 的分布。 解 -*- ２.３　抽样分布　 定理： 则　 为两随机向量，且　 -*- -*- 特别：若　 相互独立且服从　 那么　　　　　　也是正态随机变量．　 若　　　　　为正交矩阵，那么：随机变量 也是相互独立且均值为０的正态随机变量　 -*- 几个重要的抽样分布定理 取自正态总体 的样本, 则有 定理 1 (样本均值的分布) 设X1 , X2 , …, Xn 是 -*- 定理2. (样本方差的分布)