小升初第三讲——专题训练之数论问题.doc

实用标准文档 文案大全 小升初专项训练---数论 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右， 小学阶段的数论知识点主要有： 质数与合数、因数与倍数、分解质因数 数的整除特征及整除性质 余数的性质、同余问题 位值原理 最值问题 知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数 1.质数与合数 突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数 (1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。 (2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。 例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。 在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数 2约数与倍数 公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。 3．质因数与分解质因数 （1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。 （2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。其中2、3、7叫做42的质因数。 又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。 4、要注意以下几条： （1）1既不是质数，也不是合数。 （2）质数有无限多个，最小的质数是2。 （3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。 （4）合数有无限多个。最小的合数是4。 （5）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。 知识点二： 数的整除特征及整除性质 突破要点——牢记特征是关键，常见特征背5遍，先看末尾再看和，然后分段求结果。 数的整除特征　　（1）2末尾是0、2、4、6、8　　（2）3各数位上数字的和是3的倍数　　（3）5末尾是0或5　　（4）9各数位上数字的和是9的倍数　　（5）11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数　　（6）4和25末两位数是4（或25）的倍数　　（7）8和125末三位数是8（或125）的倍数　　（8）7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 知识点三：余数的性质、同余问题 1.带余除法　　一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r　　当r=0时，我们称a能被b整除。　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r　 2.同余定理　　①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)　　②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。　　③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。　　④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。　　⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 知识点四：位值原理 知识点五：最值问题 知识点六：数论解题的常用方法? ? ??枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 题目类型一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数　　 例题1：甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是 。 例题2：两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？ 练习1：五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是 . 练习2：长方体的右面和上面的面积之和为91平方厘米，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积为（　 ）立方厘米或（　 ）立方厘米。 题目类型二：数的整除特征及整除性质 例题：有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 练习1、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 练习2、在所