染色法与构造法在棋盘上的应用.doc

染色法和构造法在棋盘上的应用 1 基本概念 棋盘的覆盖 同行覆盖 异性覆盖 小结 马的遍历 马的哈密尔顿链 马的哈密尔顿圈 其它问题 Warm world 删除数字 结语 棋盘： 所谓m*n棋盘，指由m行n列方格构成的m*n矩形。每个方格成为棋盘的格，位于第i行j列的格记为a(i,j)。当i+j为奇（偶）数时，称aij为奇（偶）格。 染色法： 用不同颜色将棋盘格子进行染色，起到分类的效果。特别地，类似国际象棋盘上的黑白二染色，我们称之为“自然染色”。 构造法： 直接列举出某种满足条件的数学对象或反例导致结论的肯定与否定，或间接构造某种对应关系，使问题根据需要进行转化的方法，称之为构造法。 棋盘的覆盖 指用若干图形去覆盖m*n的棋盘。覆盖的每个图形也由若干格子组成，称为覆盖形。 约定任两个覆盖形互不重叠，任一覆盖形中任一格总与棋盘上某格重合。 按覆盖效果，可分为完全覆盖、饱和覆盖、无缝覆盖和互异覆盖。（只讨论） 完全覆盖：各个覆盖形的总格子数等于棋盘的总格子数 按覆盖形分，可分为同行覆盖和异型覆盖。 同形覆盖：只有一种覆盖形； 异型覆盖：有多种覆盖形 同形覆盖 给出m,n,k，试用若干1*k的矩形覆盖m*n的棋盘。 分析： 定理1 m*n棋盘存在1*k矩形的完全覆盖的充分必要条件是k|m或k|n 证明： 充分性是显然的。用构造法。当k|n时，每一行用n/k个1*k的矩形恰好完全覆盖。K|m情况类似。 必要性： 设m=m1*k+r,0rk 设n=n1*k+s,0sk 约定r=s 1 2 3 … K 1 2 3 … k …… 1 2 3 … S 2 3 4 … 1 2 3 4 … 1 …… 2 3 4 … S+1 3 4 … … 2 3 4 … … 2 …… 3 4 … … : : : : : : : …… : : : K 1 … … k-1 K 1 … … k-1 …… k 1 … … S+k-1 1 2 3 … K 1 2 3 … K …… 1 2 3 … S 2 3 4 … 1 2 3 4 … 1 …… 2 3 4 … S+1 3 4 … … 2 3 4 … … 2 …… 3 4 … … : : : : : : : : : : K 1 … … k-1 K 1 … … k-1 …… k 1 … … S+k-1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : …… : : : : : : : : : : 1 2 3 … K 1 2 3 … K …… 1 2 3 … S 2 3 4 … 1 2 3 4 … 1 …… 2 3 4 … S+1 3 4 … … 2 3 4 … … 2 …… 3 4 … … : : : : : : : …… : : : R r+1 … … R+k-1 r … … … r+k-1 …… R r+1 … … r+s-1 由上面的定理1，可彻底解决m*n棋盘的p*q矩形完全覆盖问题 定理2 m*n棋盘存在p*q矩形的完全覆盖充分必要条件是m,n p|x且q|y p|x,q|x,且存在自然数a,b，使y=ap+bq 其中{x,y}={m,n} 异型覆盖 例2 设有m*n的棋盘，当m*n为奇数时，尝试删去一个格子，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖；当m*n为偶数时，尝试删去两个格子，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖。 分析： 先来考虑m*n为奇数的情况 一方面，将棋盘自然染色。无论怎么放，一个1*2的矩形必盖住一个黑格和一个白格，而棋盘上的黑格比白格多1，于是只能去掉一个黑格(即偶格) 另一方面，设去掉偶格为a(i,j)，用构造法必能得到可行解 1）I与j同为奇数 2）I与j同为偶数 2 3 1 4 2 3 1 4 （2）再考虑m*n为偶数的情况 类似地，由自然染色法得知，去掉的两格必定异色，即一个奇格，一个偶格（不然两种格子总数不等） 另一方面，用构造法，将用一些粗线将棋盘隔成宽为1的长条路线，使从任一格出发可以不重复地走遍棋盘并回到出发点。 B A 针对染色法，上面的例子都是利用“各类颜色格子总数必须相等”这一条件推出矛盾，但又些时候，只考虑这个条件是不够充分的。 8*8棋盘剪去哪个方格才能用21个1*3的矩形覆盖？ 分析： 蓝色：21个 白色：22个 黑色：21个 考虑到对称性假设去掉(i,j)存在一种方案，则与(i,j)对称的点(i,9-j),(9-i,j),(9-i,9-j)也存在一种方案，即这四个点必须都是白点。，只有剪去a(3,3)、a(3,6)、a(6,3)、a(6,7)中的某一个才能满足题意。 假设去掉(i,j)存在一种方案，则与(