不等式证明的方法技巧.docVIP

关于三元不等式的一点总结 在自主招生乃至数学竞赛中，我们往往会见到许多三元不等式，形式例如“， ”的不等式不胜枚举，所以本节就专门来谈谈关于这类不等式的处理手段。由恒等式，再结合下面这个不 等式：，可推出 （*） 即产生不等式 = 1 \* GB3 ① 由（*）可进一步推： （*） 所以又产生不等式，亦可写成： = 2 \* GB3 ② 从恒等式中我们又发现： 即有不等式 = 3 \* GB3 ③ 结合 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③容易发现，既可以与和单独建立不等关系，又能和、混合建立不等式。进一步，我们若联系熟悉的不等式 （证明交给读者自己）和舒尔不等式的下列4个变形： 变形1 我们把它简记为 变形2 我们把它简记为 变形3 我们把它简记为 变形4 我们把它简记为 则又可以产生一大批新的三元不等式，形成有力的证明桥梁！ 下面再介绍一种解决三元齐次轮换对称式的强有力工具-----舒尔分拆法！ 定理1（舒尔不等式的推广） 证明：（1） （2） （3）由（1）（2）易知也成立。 定理2 三元齐三次轮换多项式可以唯一地表示为 其中，，，。 并且当时，。 此定理的证明涉及到线性代数的知识，这里就不证明了。 为了快速计算出待定系数，只要记住。 定理3三元齐四次轮换多项式可以唯一地表示为 其中，，， ，。 并且当时，。 其中系数 定理4三元齐五次轮换多项式可以唯一地表示为 其中，， ，， 并且当时， 。 其中，，，， 。（） 例1 设 证明：先两端齐次化，证明 即证明 而由上面总结的熟悉不等式，显然成立。 例2 设且证明： 证明：题目中交代所以我们要活用常数，在原不等式左右都乘上3，左边以 来代替，即 这样我们就正好也凑到了熟悉不等式的形式，两边再同乘上3，得 而我们本来就有 所以原不等式就成立了！ 例3 （1992年波兰数学竞赛题） 证明：由总结的不等式 = 2 \* GB3 ②知，上式显然成立。 例4 （第25届国际奥赛试题） 已知，证明： 证明：运用舒尔分拆的前提必须是齐次和轮换对称！ 所以，先将不等式齐次化 则根据舒尔分拆，令，则是齐三次轮换多项式，计算系数，我们有： 所以 同样根据舒尔分拆，我们有： 所以 即原不等式成立！ 例5 （第41届国际奥赛试题） 设求证： 分析 显然我们知道可以舒尔分拆来证，所以立马我们通分，得 也即 再整理化简得 此时虽然有这个条件，但是无法将上式齐次化，所以不能直接用舒尔分拆。考虑这个结构，如果，那么也是和的分式型，又常数的形式，这样处理有力于建立齐次式。 证明：，令，于是原不等式等价于 接下来因为是三元齐三次轮换多项式，所以用舒尔分拆易证上式成立。 例6（2005年西部奥林匹克试题） 设正实数。证明： 证明：这个很好齐次化，等价于 进行舒尔分拆，，， 。所以。故原不等式成立！ 以上方法是证明一些三元不等式的有效方法，但不等式证明博大精深，法无定法，所以读者在证题中切不能胡乱套模式。另外有一点需要注意的是，舒尔分拆是解决三元齐次轮换多项式的手段，遇到非齐次或不轮换的，万万不可依葫芦画瓢！