建筑力学(第二版 沈养中)教学资源第十章 静定结构的内力与位移.ppt

10－2－4 图乘法 1.图乘法的公式和适用条件 用单位荷载法求梁或刚架的位移时，其积分计算过程往往比较繁杂。如果结构满足以下两个条件：就可以用图乘法代替积分运算，从而简化计算工作。 (1) 杆件（或杆段）为等截面直杆，且EI为常数； （2）在M和 两个弯矩图中至少由一个是直线图形。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 设杆件的M图与 图已知（如图），且EI为常数，其中ab段的 图为直线图形。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 ，dA= M dx， 取 图的延长线与x轴交点O为坐标原点。则 利用位移计算公式有 (a) 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 式中， 称为M图的面积对y轴的静矩，它等于M图的面积乘以其形心C的坐标xC，即 代入式(a)，得 (b) 又因为yC=xCtan? ，则有 (c) 式中，yC为M图的形心C下相应的 图中的竖标。 式(c)表明，积分式之值等于M图的面积A乘以其形心所对应的 图(直线图形)中的竖标yC，再除以杆的弯曲刚度EI。当A与yC在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取负号。这就是图乘法。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 对于多根杆件组成的结构，只要将每段杆图乘的结果相加，即 = 用图乘法计算位移时，需要确定弯矩图的图形面积及其形心位置。 下图给出几种简单图形的面积和形心位置，以备查用。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 简单图形的面积和形心位置 2. 图乘计算中的几个问题 下面对图乘计算中将可能会遇到的一些问题加以讨论。 (1) 两个弯矩图都为三角形。当两个三角形的高在同一边时(如图)，有 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 当两个三角形的高在两边时(如图)，有 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 (2) 复杂图形分解为简单图形 ① 当其中一个弯矩图为梯形时，可将其分解为两个三角形（如图）。设两个三角形的面积分别为A1和A2，该两面积形心下相应的 图的竖标分别为yC1和yC2，则有 ② 当两个弯矩图都是梯形时，可将弯矩图都分解为两个等高的三角形(如图)。计算时A1、A2要分别与 图中的两个三角形相乘，然后再相加，即 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 ③ 当两个弯矩图都是直线图形，但都含有不同符号的两部分时(如图)，可将其中一个图形分解为ABC和ABD两个三角形，分别与另一个图形相乘并求和，即 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 ④ 当M图如图a、b所示图形时，可将其分解为三角形（或梯形）和抛物线形，分别与 图相乘，然后再求和。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 (3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC可取自任意一个弯矩图。 (4) 每个面积只能对应一条直线图形。当M图对应的不是一条直线图形时(如图)，则要将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直线图形，分别进行图乘再相加，即 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 例10－12 试用图乘法求图示简支梁跨中点C截面的竖向位移?CV和B截面的角位移?B 。设梁的弯曲刚度EI为常数。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 解 (1)求竖向位移 ?CV 。绘出荷载作用下的M图(图b)。 在C截面虚加一竖向单位力 =1，绘出 图(图c)。 因M图和 图都为折线，故必须分AC、 CB两段图乘后相加，得 正号表示?CV的方向与所设 =1的方向相同，即铅直向下。 将两图相乘，得 （2）求角位移?B。在B截面虚加一单位力偶 =1，绘出 图（图d）。 负号表示?B的转向与所设 =1的转向相反，即逆时针方向。 （逆时针） 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 例10－13 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移?CV 。设梁的弯曲刚度EI为常数。 目录 第十章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移 解 绘出荷载作用下的M图（图b）。 在C截面虚加一竖向单位力