计算方法第五章教学课件.ppt

* 方程组的性态 * 相比较可得 又 * 定理 13 当方程组的系数矩阵A非奇异和常数项b为非零向量时，且同时有扰动δA，δb，满足 ，若x和x+δx分别是方程组Ax=b 及 的解 则 方程组的性态 * * 设 及 非奇异（当 即可），上 式展开，得 取范数并整理，得 证 ： 方程组的性态 * * 利用 有 如果 则 方程组的性态 * 或者写成 如果 充分小，则上式不等式成为 方程组的性态 * 例18 线性方程组 的系数矩阵带误差，成为如下方程组 求方程组系数矩阵的条件数, 并说明方程组 的性态 例题 * 例题 因此方程组是良态的 所以 解 因为 * 2 精度分析 求得方程组Ax=b的一个近似解以后,希望判断其精度，检验精度的一个简单办法是将近似解再回代到原方程组去求出余量r. 如果r很小，就认为解是相当精确的。 定理3.14 设 是方程组Ax=b的一个近似解,其精确解记为 ,r为 的余量。则有 精度分析 * 例19 设A为正交矩阵，证明：cond2(A)=1 分析：由正交矩阵和条件数的定义便可推得 解：因为A是正交矩阵， 故ATA= AAT=I， A-1= AT，从而 例题 故 * 例20 设A，B为n阶矩阵，证明： cond(AB)≤ cond(A) · cond(B) 分析: 由矩阵范数性质和条件数定义 便可证明 证： cond (AB) = || AB || · || (AB)-1 || ≤ ||A|| · ||B|| ||A-1|| · ||B-1|| = ||A|| · ||A-1|| ||B|| · ||B-1|| = cond (A) · cond (B) 例题 * 例21 设A，B为n阶非奇异矩阵，||?||表示 矩阵的任一种范数，证明： || A-1-B-1 || ≤|| A-1 || || B-1 || || A-B || cond(AB)≤ cond(A) · cond(B) 分析: 由矩阵范数的基本性质即可推证 例题 * 例题 证： A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1 ,从而 || A-1-B-1 ||≤|| A-1(B-A)B-1 || ≤ ||A-1|| · ||B-A|| · ||B-1|| ∴ || A-1-B-1 || ≤ ||A-1|| · ||B-A|| · ||B-1|| * 本章介绍了解线性方程组的直接法。直接法是一种计算量小而精度高的方法。直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消去法，其它算法大都是它的变型，这类方法是解具有稠密矩阵或非结构矩阵（零元分布无规律）方程组的有效方法。选主元的算法有很好的数值稳定性。从计算简单出发实际中多选用列主元法。解三对角矩阵方程组（A的对角元占优） 本章小结 * 的追赶法，解对称正定矩阵方程组的平方根法都是三角分解法，且都是数值稳定的方法，这些方法不选主元素，也具有较高的精度。 向量、矩阵的范数、矩阵的条件数和病态方程组的概念，是数值计算中一些基本概念。线性方程组的病态程度是其本身的固有特性，因此即使用数值稳定的方法求解，也难以克服严重病态导致的解的失真。在病态不十分严重时，用双精度求解可减轻病态的影响在实际应用中如何选择算法是一个重要问题，往往从三个方面考虑： 本章小结 * ?????? ① 解的精度高； ????? ② 计算量小； ?????? ③ 所需计算机内存小。 但这些条件相互间是矛盾而不能兼顾的，因此实际计算时应根据问题的特点和要求及所用计算机的性能来选择算法。 本章小结 * 本章习题 作业 P175 1,8,10,18 * * * * 5.4 向量和矩阵的范数 * 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性, 有必要对向量及矩阵的“大小”引进某种度量----范数的概念。向量范数是用来度量向量长度的,它可以看成是二、三维解析几何中向量长度概念的推广。用Rn表示n维实向量空间。 定义 对任一向量X?Rn, 按照一定规则确定一个实数与它对应, 该实数记为|