第三讲导数与微分的计算方法 洛比塔法则.ppt

所求切线方程为 例8 解 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 思考题 思考题解答 不对． 6 高阶导数 定义 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 二、 高阶导数求法举例 例1 解 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例2 解 例3 解 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例4 解 同理可得 例7 解 例8 解 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 定义 例如, 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证 定义辅助函数 则有 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 例7 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤: 例8 解 步骤: 步骤: 例9 解 例10 解 例11 解 例12 解 极限不存在 洛必达法则失效。 注意：洛必达法则的使用条件． 三、小结 洛必达法则 第三讲：导数与微分的计算方法 1 四则运算（一）和、差、积、商的求导法则 定理 推论 （二）例题分析 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 例4 解 同理可得 例5 解 同理可得 例6 解 （三）小结 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 2 反函数、复合函数的导数 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例1 解 同理可得 例2 解 特别地 二、复合函数的求导法则 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 推广 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 三、小结 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商. 四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 隐函数的导数 对数求导法参数方程所确定函数的导数一、隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例3 解 二、对数求导法 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 例4 解 等式两边取对数得 例5 解 等式两边取对数得 一般地 三、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例6 解