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第6讲 不等式的证明;考点梳理;≥;a-b0;(2)分析法
从所要证明的结论入手向__________________反推直至达到已知条件为止,这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.
(3)综合法
从已知条件出发,利用不等式的性质(或已知证明过的不等式),推出所要证明的结论,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.
(4)反证法的证明步骤
第一步:作出与所证不等式_____的假设;
第二步:从___________出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立;;(5)放缩法
所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地___________,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.
(6)数学归纳法
设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.;一个考情解读
证明不等式、最值问题是江苏高考考查的重点,特别要关注证明不等式的几种证明方法;也应注意函数与数形结合的证明问题、最值问题、恒成立问题的处理方式.
注意方程、函数、不等式三者之间的联系,恒成立求最值,构造函数利用分离变量,再利用均值不等式、配方法、导数单调性等求最值即可.;考点自测;考向一 分析法证明不等式;[方法总结] 分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.;(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).
证明 ∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,
∴要证原不等式成立,
即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥
8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c)-c],
也就是证
[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]≥
8(b+c)(c+a)(a+b). ①;考向二 用综合法证明不等式;[方法总结] 证不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个??的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价.这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧.;【例3】 设x+2y+3z=3,求4x2+5y2+6z2的最小值.;[方法总结] 柯西不等式的应用比较广泛,常见的有证明不等式,求函数最值,解方程等.应用时,通过拆常数,重新排序、添项,改变结构等手段改变题设条件,以利于应用柯西不等式.;解 由柯西不等式,得
(a+2b+3c)2≤(a2+b2+c2)(12+22+32)=142,
当且仅当a=2b=3c时等号成立,
所以a+2b+3c≤14,即a+2b+3c的最大值为14.;利用算术—几何平均不等式证明不等式或求最值问题,是不等式问题中的一个重要类型,重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件.; [点评] 在解答本题时有两点容易造成失分:一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误;
二是求解等号成立的a,b,c的值时计算出错.;高考经典题组训练;2.(2009·江苏卷)对于正整数n≥2,用Tn表示关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有实数根的有序数组(a,b)的组数,其中a,b∈{1,2,…,n}(a和b可以相等);对于随机选取的a,b∈{1,2,…,n}(a和b可以相等),记Pn为关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有实数根的概率.
(1)求Tn2及Pn2;;(1)解 因为方程x2+2ax+b=0有实数根,所以Δ=4a2-4b≥0,即b≤a2.
(ⅰ)n≤a≤n2时,有n2≤a2,又b∈{1,2,…,n2},故总有b≤a2,此时,a有n2-n+1种取法,b有n2种取法,所以共有(n2-n+1)n2组有序数组(a,b)满足条件;;谢谢你的阅读
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