第2-4节 几种常见的分布.ppt

设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米 n 3 故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求. 离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布 二项分布 泊松分布 两点分布 三、小结 超几何分布 Jacob Bernoulli Born: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland 伯努利资料 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 例6 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. X 的分布密度函数为 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 解 即 A={ X 3 }. （教材P61第15题） 因而有 设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 (2) 指数分布 若 X 的概率密度密度 为 则称 X 服从 参数为 的指数分布， X 的分布函数为 ? 0 为常数 记作 X ~Ｅ(?)。 1 x F( x) 0 x f ( x) 0 对于任意的 0 a b, 应用场合 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似 若 X ~Ｅ(?),则 故又把指数分布称为“永远年轻”的分布 事实上 命题 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. 解 (1) 例7 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 发生故障的次数 N( t ) ~ (?t), 求 相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行８小时的情况下,再正常 　 运行 10 小时的概率. (2) 由指数分布的“无记忆性” 同型题(习题课教程P34 例7 ) (3) 正态分布 若X 的 概率密度 为 则称 X 服从参数为 ? , ? 2 的正态分布 记作 X ~ N ( ? , ? 2 ) 为常数， 亦称高斯 (Gauss)分布 N (-3 , 1.2 ) f (x) 的性质： 图形关于直线 x = ? 对称, 即 在 x = ? 时, f (x) 取得最大值 在 x = ?±? 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 f (? + x) = f (? - x) f ( x) 的两个参数： ? — 位置参数 即固定 ? , 对于不同的 ? , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同 ? — 形状参数 固定 ? ，对于不同的? ，f ( x) 的形状不同. 若 ?1 ?2 则 比x=? ? ?2 所对应的拐点更靠近直线 x=? 附近值的概率更大. x = ? ? ?1 所对应的拐点 前者取 ? ?大 ?小 几何意义 ? 大小与曲线陡峭程度成反比 数据意义 ? 大小与数据分散程度成正比 正态变量的条件 若 随机变量 X ① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加 则称 X 为正态随机变量 可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩； 一种重要的正态分布 是偶函数，分布函数记为 其值有专门的表（教材P293附表1）供查. —— 标准正态分布N (0,1) 密度函数 说明：P293附表1第一行从左至右分别表示 P295附表1最后一行从左至右分别表示 容易证明： · 教材P52公式： 附证： 证明 证明 对一般的正态分布 ：X ~ N ( ? ,? 2) 其分布函数 作变量代换 教材P52公式（5）： 例8 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 ? X ? 1.6) 解 P293 附表1 例9 已知 且 P( 2 X 4 ) = 0.3, 求 P ( X 0 ). 解一 解二 图解法 0.2 由图 0.3 例10 “3? 原理” 设 X ~ N ( ? , ? 2), 求 解 一次试验中, X 落入区间( ? - 3? , ? +3? ) 的概率为 0.9