自动控制原理7-2z 变换理论.ppt

上式有两个极点z1=1，z2=2，并且 例7-13 已知 ，用留数法求其z反变换。 解: 五、关于z 变换的说明 1.z变换的非唯一性 z变换是对连续函数信号的采样序列进行变换，因此z变换与其原连续时间函数并非一一对应，而只是与采样序列相对应。 对于任一给定的z变换函数E(z)，由于采样信号e*(t)可以代表在采样瞬时具有相同数值的任何连续时间函数e(t)，所以求出的E(z)反变换也不可能是唯一的。 对于连续时间函数而言，z变换和z反变换都不是唯一的。 e*1(t)= e*2(t) E1(z)= E2(z) e1(t) ≠ e2(t) 图7-17 具有相同z变换式的两个时间常数 图7-17中，连续时间函数e1(t) 和 e2(t)的采样序列是相同的，即e*1(t)= e*2(t) ；它们的z变换也是相同的，即E1(z)= E2(z) ；然而，这两个时间函数是极不相同的，即e1(t) ≠ e2(t)。 2.z变换的收敛区间 对于拉氏变换，其存在性条件是下列绝对值积分收敛： 同样，z变换也有存在性问题。为此，需要研究z变换的收敛区间。 双边z变换的定义为： 由于z=esT，令s=σ+jω，则 令 ，则 ，于是 显然，上述无穷级数收敛的条件为： 若上式满足，则双边z变换一致收敛，即e(nT)的z变换存在。 在大多数工程问题中，因为n0时，e(nT)=0，所以z变换是单边的，其定义为： E(z)为有理分式函数，因而z变换的收敛区间与E(z)的零极点分布有关。 由于大多数工程问题的z变换都存在，因此今后对z变换的收敛区间不再特别指出。 P165：7-1（2），7-2 （2）（4），7-4，7-5，7-6 HomeworkChapter7 自动控制原理 第七章 线性离散系统的分析 7.1 离散系统的基本概念 7.2 信号的采样与保持 7.3 z变换理论 7.4 离散系统的数学模型 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 7.6 离散系统的动态性能分析 7.3 z 变换理论 连续函数f(t)的拉氏变换为： 一、z变换的定义 f (t) 的采样信号为 f *(t)： 对上式进行拉氏变换，得 (7-17) z 变换实质为采样函数拉氏变换，把超越函数转化为z的幂级数或z的有理分式。 Z[f(t)]是为了书写方便，并不意味是连续函数的z变换。z变换只适用于离散函数。 F(z) 和 f *(t) 是一一对应的，但与f (t)是一对多的。 引入新的变量z=esT 则采样信号 f *(t) 的 z 变换定义为： (7-18) 注意： 二、z 变换的方法 1.级数求和法 思想：只要知道连续函数f(t)在各个采样时刻的数值，即可按照z变换的定义求得其z变换。 注意：这种级数展开式是开放形式的，有无穷多项。但一些常用的z变换的级数展开式可以用闭合型函数表示。 设 ，则 由于 在时刻 的脉冲幅度为1，其余时刻的脉冲幅度均为零，所以有 例7-4 求单位脉冲信号的z变换。 解： 例7-5 求单位阶跃函数1(t)的z变换。 解： 设 ，则 该级数的收敛域为|z|1，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式： 例7-6 求理想脉冲序列信号δT (t)的z变换。 所以 解 因为 由拉氏变换可知， 对比例7-6和例7-5，得到什么结论？ 例7-7 求单位斜坡信号的z变换。 上式两边同乘(-Tz)，便得单位斜坡信号的z变换 解： 设 ，则 上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得 例7-8 求指数函数的z变换。 解 设 ，则 2．部分分式法 思想：先求出已知连续函数f(t)的拉氏变换F(s), 然后将其展开成部分分式之和的形式，求出相应每一部分的z变换再叠加即可。 即：当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用指数函数的z变换求出该函数的z变换。 例7-9 设 ，求 的z变换。 解： 上式两边求拉氏反变换，得 例7-10 求 的z变换。 解： 三、z变换的性质 其中a1和a2为任意实数。 1.线性定理 若f1*(t)和f2*(t)的z变换为F1(z)和F2(z) ，则 (7-19) 证明： 2．实数位移定理 滞后定理（负偏移定理） 超前定理（正偏移定理） 若f *(t)的z变换为F (z)，t0时，f(t)=0,则 (7-20) (7-21) 证明（正偏移定理）: （令j=k+n） 3.复位移定理 证明：由z变换定义