创新教程高考数学大一轮复习热点集训空间向量法解立体几何中的热点问题.ppt

高考大题冲关 立体几何是历年高考必考的热点，试题难度中等，命题的热点主要有空间线面位置关系的证明和空间角的求解；试题背景有折叠问题，探索性问题等，考查了学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及转化与化归思想的应用能力，解决此类问题一般有传统方法和向量方法，用向量法解决问题可以化繁为简，降低题目的难度． [典例赏析1] (2014·天津高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． [思维导引]　方法一：(1)只要证明两直线的方向向量垂直即可．(2)求直线与平面所成角的正弦值，转为求直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值．(3)求平面与平面所成角的余弦值，转化为求两平面法向量所成角的余弦值．方法二：(1)要证明线线垂直，可通过证明线面垂直来实现．(2)求线面角的正弦值要先找到或作出线面角，再通过解三角形求解．(3)求二面角的余弦值要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解． [解析]　法一　(1)证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)． 由E为棱PC的中点， 得E(1,1,1)． 又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB， 故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM. 因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA， 从而CD⊥平面PAD，因为AM?平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD. (2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD， 得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM， 又因为AD＝AP，M为PD的中点， (3)如图，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H，连接BH. 因为PA⊥底面ABCD，故FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC. 又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH. 在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP. 在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，连接AG. 于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB， 所以A，B，F，G四点共面． 由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG.所以∠PAG为二面角F-AB-P的平面角． [冲关策略]　(1)空间向量法证明位置关系：空间向量方法证明空间位置关系的关键是把空间线面位置关系的判定定理和性质定理与空间向量建立对应关系，把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算，通过运算解决证明问题． (2)空间向量法求解空间角的关键是把空间角能转化为空间向量所成的角． 1．(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H. (1)证明：四边形EFGH是矩形； (2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值． (1)证明：由该四面体的三视图可知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC， ∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形． (1)证明：A′O⊥平面BCDE； (2)求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值． [思维导引]　(1)根据折叠前后几何元素的变化，通过计算得出折叠后的线线垂直得出线面垂直；(2)在(1)的情况下，建立空间直角坐标系，得出两个平面的法向量，使用公式求解． (2)解：法一　(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H，连接A′H，如图. 法二　(向量法)以O点为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示， [冲关策略]　(1)分清折叠前图形的各元素(线段长度、夹角等)的关系、线线之间的位置关系． (4)根据要求选用立体几何相关定理证明位置关系和求解相关的几何元素． (5)在可以使用空间向量时使用空间向量方法解决问题． (1)求证：平面AEC⊥平面ABED； (2)设点A关于点D的对称点为G，点M在△BCE所在平面内，且直线GM与平面ACE所成的角为60°，试求出点M到点B的最短距离． (1)证明：在图1中，由题意易得DE⊥BC，在图2中，∵DE⊥BE，DE⊥CE， ∴∠BEC是二面角B-DE-C的平面角， ∵二面角B-DE-C是直二面角，∴BE⊥CE. ∵DE∩BE＝E，DE，BE?平面ABED， ∴CE⊥平面ABED，又CE?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面ABED. [典例赏析3] (2014·湖北高考)如图，在棱长为2的