逼近论第一第二章.doc

PAGE PAGE 1 第一章 预 备 知 识 §1 函数逼近论简介 函数逼近论（approximation of funcyions） 函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下面问题： 在选定的一类函数中寻找某个函数，使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用近似表示 而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作的近似表示的函数的确定方式仍然是各式各样的；对的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。 二、逼近函数类 给定函数，用来逼近的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。逼近函数类可以有多种选择。次代数多项式，亦即一切形如公式（其中是实数，）的函数的集合；阶三角多项式，亦即一切形如公式(其中,是实数，）的函数的集合，这些是最常用的逼近函数类。其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。 三、逼近方法 给定并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为的近似表示函数的方法是多种多样的。例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。所谓插值就是要在逼近函数类中找一个，使它在一些预先指定的点上和有相同的值，或者更一般地要求和在这些指定点上某阶导数都有相同的值。利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史。微积分中著名的Taylor多项式便是一种插值多项式。此外，在各种逼近问题中，线性算子也是广泛应用的一大类逼近工具。所谓线性算子是指某种逼近方法，对于被逼近函数 、，在逼近函数类中有、近似表示它们，并且对于任意实数都有。 线性算子逼近方法构造方便。一个典型的例子是周期的连续函数的阶傅里叶部分和,它定义了一个由周期的连续函数集到阶三角多项式集内的线性算子。可以用来近似表示。除了线性算子，在逼近问题中还发展了非线性的逼近方法。这方面最基本的工作是18世纪中叶由俄国数学家∏.Л.切比雪夫提出的最佳逼近。1859年切比雪夫结合机械设计问题的研究提出并讨论了下述类型的极值问题：已知区间上的连续函数,是依赖于参数的初等函数(如多项式，有理分式)，用来近似表示?(x)，如果产生的误差用公式 来衡量，要求选择一组参数使误差最小。这就是寻求极小问题 的解。当参数给出最小误差时，就把叫做)在所构成的函数类中的一个最佳逼近元；数值 叫做借助于函数来逼近时的最佳逼近值。切比雪夫研究了是次多项式（ 是固定整数, 是系数，它们是可以任意取值的参数）的情形。这里的最佳逼近依赖于，但不是线性依赖关系。所以说切比雪夫的最佳逼近是一种非线性的逼近。 四、误差 又称逼近度。为了衡量函数对的近似程度（逼近度），在逼近论中广泛应用抽象度量空间内的度量概念。对于在逼近问题中经常遇到的一些函数类，常用到的度量有以下几种： ①定义在上的全体连续函数中任何两个函数,的接近程度可以按公式来规定。按这种度量引出的逼近度叫做一致逼近度； ②定义在上的全体平方可积函数内任何两个函数，的接近程度可按公式来规定,这便是平方逼近度； ③定义在上的全体次幂可积函数 (p≥1)内可以取作为度量，由它产生的逼近度叫做次幂逼近度。 五、函数逼近论的产生 从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果。已知区间上的连续函数,假设 (n≥0), 量叫做的阶最佳一致逼近值,也简称为最佳逼近值，简记为。能使极小值实现的多项式叫做 的阶最佳逼近多项式。切比雪夫证明了,在区间上函数的阶最佳逼近多项式必满足关系式。多项式就是著名的切比雪夫多项式。切比雪夫还证明了是?(x)在上的 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在上存在着个点: ,在这些点上 (1)依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号， (2)。点组 便是著名的切比雪夫交错组。 1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问