概率论第二章内容总结与案例.ppt

虫卵发育问题 设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为?的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫卵是否发育为幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。 数学期望问题1 设随机变量X的概率密度为： 求E(min{|X|,1}) 数学期望问题2 对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望。 银行等待问题 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布，其密度函数为： 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离开。该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。请写出Y的分布。 离散随机变量与连续随机变量 设F(x)与G(x)都是分布函数，且a0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开讨论 奇异型随机变量 F(X) 0 0.5 问题1 解：记 B = “至少出现一次双6点”， 则所求概率为 两颗骰子掷 24 次， 求至少出现一次 双6点 的概率. 问题2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率. 例2 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. B表示“2 张中至少有1张假钞” 则所求概率是 （而不是 ！）. 所以 15 5 1 15 1 5 1 2 5 1 15 2 1 5 1 15 问题3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; 例3 问题4 某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干时间，发现一盒火柴已用完，假设每盒火柴在未启用时各有n根，求另外一盒剩余r根的概率。 摸球问题 从n个球中摸m个球 摸球方式 摸法 有放回 记序 不记序 无放回 记序 不记序 物品放入盒子问题 m个物品随机放入n个盒子 放入方式 摸法 盒子可以容纳任意个物品 物品可辨 物品不可辨 每盒最多容纳一个物品 物品可辨 物品不可辨 * * * 放在？ * * * * * * * * * * * * 第二章 内容回顾 分布函数的性质 F ( x ) 单调不减，即 且 F ( x ) 右连续，即 用分布函数表示概率 ] ] （ ] a b p.d.f. 连续随机变量密度函数f ( x )的性质 1 2 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f. 3 在 f ( x ) 的连续点处， f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率 数学期望的性质 (1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X)) 2.3.2 方差的性质 (1) Var(c)=0. 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3 (3) Var(X)=E(X2)?[E(X)]2. 性质 2.3.1 （ ） . 2.3.3 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 注： 易知　　 越大Ｘ的取值越分散． 切比雪夫 定理(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关), 如果n??时,  npn??(?0为常数). 则对于任意给定的k, 有 超几何、二项、泊松分布之间的近似关系 定理 超几何分布的极限分布是二项分布 即，在超几何分布中对于固定的 n，k ，如果 lim N→+∞ — = p 则有极限关系： lim N→+∞ —————— = Cnk pk (1 – p )n – k 对所有的 0 ≤ k ≤ n 都成立。 一般当 n ≤ 0.1 N 时可以用这个近似的计算公式 M N CMk CN – M n – k CNn 常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P(?) 的数学期望 = ? 常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1?p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1?p) 泊松分布 P(?) 的方差= ?