第六章近粒子的最概然分布热力学统计物理.ppt

* §6.6 玻耳兹曼分布 一、玻尔兹曼分布的推导（M.B.系统） 1 写出分布及对应的微观状态数 微观状态数是分布{ al }的函数，可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。 根据等概率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的，那么微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最可几分布（最概然分布）。 玻耳兹曼系统粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。 * 2 取对数，用斯特令公式化简 斯特林近似公式 要求 要求 * 3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值 对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零 《高等数学》（下册）第六版，同济大学编 P113 * 由于系统确定，则还要满足约束条件： 对上两式子做一次微分得到： 上两式子乘以未定乘子得到： * 即 称为 麦克斯韦—玻耳兹曼分布（玻耳兹曼系统粒子的最概然分布）。 任意，所以 这里αβ的物理意义见P227页（8.1.9）式，对应守恒量 * 拉氏乘子 α、β 由约束条件决定： kB是玻尔兹曼常量 μ是化学势 * 二、粒子按量子态的分布 某量子态 s 上的平均粒子数 1 按量子态的分布函数 约束条件为 粒子处于第 l 能级上的概率为 粒子处于某量子 态 s 上的概率为 * 三、对玻耳兹曼分布的几点说明 要证明极大，二阶导数须小于零。 故上述分布为对应Ω最大的分布——最概然分布。 对 δ lnΩ 取二次微分 * 2 分布的可靠程度 设有分布 {al + δal } 与 M-B 分布{al }相对偏差为δal/al ≈10-5 ， 对于N = 1023 的宏观系统 设新的分布对应的微观状态数为 * 可见，对宏观系统，在最概然分布处的微观状态数是一个非常尖锐的极大值。因此，最概然分布接近于全部可能的微观状态数，完全可以代表系统平衡时真正的统计分布。 3 非简并性条件的说明 用到斯特令公式，即要求 al 1, 但实际上可能不满足。 四、经典系统中的玻耳兹曼分布 意义： 系统最概然分布时状态位于??l 中的粒子数为al。 * §6.7 玻色分布和费米分布 一、玻色分布 包含微观状态数目最大的分布出现的概率最大，是系统的最概然分布。 * 此式给出了玻色系统粒子的最概然分布，称为 玻色分布。 二、费米分布 费米分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 玻色分布满足的边界条件 费米分布满足的边界条件 kB是玻尔兹曼常量 μ是化学势 * §6.8 三种分布的关系 这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。 由 知 与 是一致的，都称为 非简并性条件，或 经典极限条件。 满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都过渡到玻耳兹曼分布。 通常条件下的理想气体（非定域系）即属于这种情况。 * 玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。（如顺磁固体等定域系统）。 总之： 玻色系统遵守玻色分布；费米系统遵守费米分布。 满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满足玻耳兹曼分布。 定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布，但它们的微观状态数是不同的。 * 假如系统可以应用 M-B 分布, 而且粒子的能级非常密集, 则粒子的能量可看作是连续的，问题可用经典方法处理， 这时的 M-B分布称为经典分布。 * 讲义：习题6-1 * * 作业：（讲义）习题6-3 * 作业：（讲义）习题6-3 * * * 三、粒子的状态与 ? 空间体积元的对应关系 ? 空间中的体积元为: d? = dq1·dq2 … dqr · dp1·dp2 … dpr 如：1D：相体积 若对坐标不加限制，则成为 3D：相体积 若对坐标不加限制，则成为 * 由 有 故在 V 中，粒子的动量在间隔 ， 范围内的量子态数为 在宏观大小的容器内，粒子的动量、能量已变得准连续。但原则上仍有量子数的概念。这时如何考虑自由粒子的量子态数？ * 利用不确定关系解释 相格：表示粒子的一个状态在 ? 空间中占有的体积。 则上式可理解为：相体积Vdpxdpydpz内具有的量子态数为相体积Vdpxdpydpz比上相格。 在 ? 空间体积元 d? 内粒子可能的状态数为 * 由 ，量子化轨道把 ? 空间分成许多体积元， 例1 一维自由粒子 ? 空间是二维的，? 一定时，相轨道是一条线段。 验证了上面结论。 其体积为 例