高中数学排列组合问题的几种基本方法-公开课件（讲义）.pptVIP

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 * * ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： 1.　分组（堆）问题 　例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 　解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 1.　分组（堆）问题 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ ♀ 　♀ 　　♀ 　♀　　♀ 解：分两步进行： ♀ 　　　　♀ 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 　↑ 　 ↑ 　↑ 　↑　↑　　↑ 　　解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. 2.插空法： 　　相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 3.捆绑法 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： ♀ ♀ 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列. 例4.　5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？ 　几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 4.消序法(留空法) 解法1：将5个人依次站成一排，有 解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线? 解: 如图所示 → 7 → 6 ↑ ④ → 5 → 4 → 3 ↑ ③ ↑ ② → 2 ↑ ① → 1 将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格: 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 所以从A到B共有 条不同的路径. 4.消序法(留空法) n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种. 5.剪截法（隔板法）： 解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 . n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 5.剪截法： 解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 . 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列. 6.错位法： 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种. 解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×