2012届高一数学专题复习课件：函数解析式的求法.ppt

* * * * 七、数学归纳法 例7 已知 f(n+1)=2+ f(n)(n∈N+), 且 f(1)=a, 求 f(n). 1 2 解: f(1)=a f(2)=2+ a 1 2 =4-21+2-1a, 故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下: f(5)=2+ f(4) 1 2 f(3)=2+ f(2)=3+ a 1 2 1 4 =4-20+2-2a, f(4)=2+ f(3)= + a 1 2 7 2 1 8 =4-2-1+2-3a, =4-2-2+2-4a, =4-22+20a, 证明从略.　 故 f(n)=4-23-n+21-na.　 　　评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证明, 适用于自然数集上的函数. 例8. 已知集合A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求这样的映射共有多少个? f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0; f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0; f(a)=f(b)=f(c)=0; 解:f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1; f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1; f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1; f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1. 八、映射方法 例 9： 九、用构造函数方法证明不等式 证明: 例 10： * 十、用构造函数方法解方程 解：构造函数f(x)＝x2011＋x，则f(x)是奇函数且为R上的增函数，得 f(3x＋y)＋f(x)＝0，即f(3x＋y)=-f(x)= f(-x) .注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数，所以 3x＋y＝－x , ∴4x＋y＝0. * 十、用构造函数方法解方程 解：原方程化为(x＋8)2011＋(x＋8)＋x2011＋x＝0, 即(x＋8)2011＋(x＋8)＝(－x)2011＋(－x),构造函数f(x)＝x2011＋x, 知f(x)是R上的单调递增函数,原方程等价于f(x＋8)＝f(－x),而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数,于是有x＋8＝－x,∴ x＝－4为原方程的解. * 知能迁移1设函数f(x)= 若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系 数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程. 思维启迪 解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2, ∴x＞0时，显然x=2是方程f(x)=x的解;x≤0时，方程 f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方 程f（x）=x解的个数为3. 答案 C 分段函数是一类重要的函数模型.解决分 段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题.如 本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x≤0时， f（x）=x的解的个数. 探究提高 知能迁移2 设 则f[g(3)]=____, =_____. 解析 ∵g(3)=2, ∴f[g(3)]=f(2)=3×2+1=7， 7 * * * * ★课堂练习 1.已知 f(x) 是一次函数, 且 f[f(x)]=4x-1, 求 f(x) 的解析式. 5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x). 2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. 4x+6 16x2+1 4.已知 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x). 6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x). 7.已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x∈(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x∈(-6, -2) 时 f(x) 的解析式. f(x)=-2x+1 或 2x- 1 3 x+5 x2-2x+2 f(x)= f(x)=x2-1(x≥1) f(x)= 10x - 10-x 1 3 2 3 f(x)=2x+ 2 5 f(x)=x2+x+1 f(x)=-x2-8x-15 8.已知函数 f(x)=