重积分的应用重点是二重积分.ppt

薄片对 轴上单位质点的引力: 4. 平面薄片对质点的引力 * 同理 * 为引力常数 * 解 由积分区域的对称性知 例8 * 所求引力为 * ◆掌握: 四、小结与教学基本要求 1.二重积分的几何应用: (1)平面图形的面积; (2)空间立体的体积; (3)空间曲面的面积. 2.三重积分的几何应用: (1)空间立体. * 习题 10-2 ( P156):18. 习题 10-4 ( P175):2. * x y z 解：要求的曲面面积是锥面 （习题 10-4 ( P175):2.） * 一、重积分的几何应用 二、二重积分的元素法 三、空间曲面的面积 四、小结 第四节 重积分的应用（几何应用） * 一、重积分的几何应用 (1)平面图形的面积: (2)空间立体的体积: (3)空间曲面的面积: * 例1 解（一）利用二重积分来计算 * x y z o * 解（二）利用三重积分来计算 例1 * x y z o * 解 1o 画?的草图 3o 由对称性，得 例2 * x y o D1 x y z o * * 1. 练习题 解 * 1. 练习题 解 * ◆把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 二、二重积分的元素法 假设要计算的量U 关于闭区域D具有可加性. * 预备知识： A 用两组直线分割A（其中一组平行于两平面 的交线）为n个小矩形， * 1. 设曲面S的方程为： 如图 三、空间曲面的面积 * （教材下册P10） * 3. 设曲面的方程为： 2. 设曲面的方程为： 1. 设曲面的方程为： * 解 例1 * 解 例2 * x y o * 解: 解方程组 得交线: 在 面上的投影域为 练习题 * * * 练习. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . * o x y (x, y) 四、重积分的物理应用 * ① 质点系的质心 * * 当薄片是均匀的，质心称为形心. ② 平面薄片的质心 可推广到空间体的质心. * 例5. 求位于两圆 和 的形心. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 * 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 ) , ( y x 处的面密度为 ) , ( y x r ，假定 ) , ( y x r 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴 的转动惯量为： 3. 平面薄片的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量: 薄片对于 轴的转动惯量: * 例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. * 解 例7 * .