实数系完备性基本定理的循环证明.doc

实数系完备性基本定理的循环证明 摘 要:循环论证了实数系的6个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美. 关键词: 实数 完备性 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 聚点定理 柯西收敛准则 确界原理 (单调有界定理)　任何单调有界数列必定收敛． 　　(区间套定理）　设为一曲间套： 　　1. 　　2. 则存在唯一一点 　　(有限覆盖定理)　设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖． 　　(聚点定理)　直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）． 　　(柯西准则)　数列收敛的充要条件是：N，?, 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．） (确界原理) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 单调有界定理对其它定理的证明 1．用单调有界定理证明闭区间套定理 证 由区间套定义,{}为递增有界数列，依单调有界定理,{} 有极限,且有n=1,2, (1) 同理,递减有界数列{}也有极限,并按区间套的条件有 = (2) 且 ，n=1,2, (3) 联合(1) (3)即得式. 最后证明满足的的是唯一的,设数也满足 ，n=1,2, 则由式有 |- | - ，n=1,2, 由区间套的条件得 |- |， 故有= 2．用单调有界定理证明确界原理 证 我们不妨证明非空有上界的数集必有上确界. 1.欲求一实数使它是非空数集的上确界.利用非空有上界的数集,构造一数列使其极限为我们所要求的实数. 选取性质:不小于数集中的任一数的有理数. 将具有性质的所有有理数排成一个数列{} ,并令 {}=max{,,,}, 则得单调递增有上界的数列{}; 2.由单调有界定理得,,且对任意的自然数n 有; 3.是数集S的上确界.用反证法.若有数 使,取,由3.一定存在一个有理数 ,使+,从而,这与是数集的上界矛盾.所以对一切S,都有,即是数集S 的上界. 任给0,若S,都有-,则存在有理数,使-,即- .这与3.矛盾,所以存在 ,使-.即是数集的最小上界. 于是,我们证明了所需结论. 3．用单调有界定理证明有限覆盖定理 证 1.设有理数(,] ,使区间[,]能被中有限个开区间覆盖.把[,]上的这种有理数的全体排成一个数列{}.因为存在一个开区间(,)使(,),在(,)[,]内含有无穷多个有理数,所以{}是存在的; 2.将数列{}单调化,取=max{,,,},则数列{}单调递增有上界; 3.由单调有界定理得, =, 且，n=1,2,; 4.因[,], n=1,2, ,由3.得[,],故必在中的某个开区间(,)中.再由3.,一定有{} ,使.又由1.[,]能被中有限个开区间覆盖.故只需把(,) 加进去. [,] 能被中有限个开区间覆盖. 若=,则说明[,]能被H中有限个开区间覆盖.用反证法.若,由于内[,]的有理数在上处[,]处稠密,故一定存在有理数,使得min{,} ,这样一来,[ ,] 能被中有限个开区间覆盖.故{} ,与3.矛盾.所以=. 4.用单调有界定理证明柯西收敛准则 证 若收敛，设 则有对，，当时有︱︱ 任取，则有︱︱ 从而︱︱︱︱︱︱ 即是列 设是列 ( = 1 \* roman i) 则对，，当时有︱︱ 从而 取，，︱︱ 从而 … … 取，，︱︱ 从而 即得对有，由的任意性有 ( = 2 \* roman ii)由列的定义，任取，则，当时有 ︱︱ 取则 所以为有界序列 由有为有界序列 由有界单调收敛定理有收敛，设 ( = 3 \* roman iii)下证