23平面向量基本定理及坐标表示.doc

PAGE PAGE 8 2.3.1 平面向量的基本定理 目的： 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量． 新课： 1．提出问题：由平行四边形想到： （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 ，是不共线向量，是平面内任一向量， O O N B MM CM = ，=λ1，==+=λ1+λ2， = ，=λ2． 得平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1 ，λ2使＝λ1+λ2． 注意几个问题： （1）,必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底； （2）这个定理也叫共面向量定理； (3)基底不惟一，关键是不共线； (4)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (5)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 例1 已知向量,，求作向量?2.5+3． 作法：（1）取点O，作=?2.5，=3， （2）作平行四边形OACB，即为所求． 已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝θ（0°θ180°），叫做向量与的夹角． 当θ＝0°，与同向；当θ＝180°时，与反向，如果与的夹角为90°，我们说与垂直，记作：⊥． 三、小结： 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 2.3.2-3平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 一、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 ………… eq \o\ac(○,1) 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 ………… eq \o\ac(○,2) 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， eq \o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特别地，，，. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若，，则， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为、，则 即，同理可得 （2） 若，，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =?=( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1) （3）若和实数，则. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、，则，即 二、讲解范例： 例1 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(?6， 0) 例2已知三个力 (3， 4)， (2， ?5)， (x， y)的合力++=，求的坐标. 解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0) 即： ∴ ∴(?5，1) 例3．平面向量的坐标运算 （1）已知a(x1, y1)，b(x2, y2)，求a+ b，a? b的坐标； （2）已知a (x, y)和实数λ,求λa的坐标。 解：a+ b =(x1 i +y1 j)+( x2 i +y2 j)=(x1+ x2) i + (y1+y2) j 即：a+ b =(x1+ x2, y1+y2), 同理：a? b =(x1? x2, y1?y2)。 2. 【教学目标】　　 1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 【教学过程】 一、〖创设情境〗 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。 二、〖新知探究〗 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 设=(x1, y1) =(x2, y2)（ ?） 其中? 由=λ ， (x1, y1) =