圆知识点归纳(北师大版本).docVIP

《圆》知识要点归纳总结 一．圆及有关概念： 圆——到定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆。 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧 等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧 弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 弦心距——圆心到直线的距离 弓形——弧与所对的弦所组成得图形。 圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部 圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部 二．与圆有关的角： 圆心角：顶点在圆心的角 圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 [补充] 弦切角、圆内角、圆外角及性质： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半. 顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半. 三．圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。 垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 依据垂径定理及其推论①②③可概括为5.2.3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论（4.1.3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 四．圆周角与圆心角的关系： 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 五．确定圆的条件： 定理——不在同一直线上的三点确定一个圆。 相关概念及性质—— 三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心 三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。 [补充]定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 六．直线和圆的位置关系： ①直线和圆相交 ②直线和圆相切 ③直线和圆相离 直线和圆位置关系的判定： ①依据定义 ②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系 圆的切线的判定： 定义②依据d=r ③定理：经过直径的一端（或半径的外端）并且垂直于这条直径（或半径）的直线是圆的切线 圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。 切线的性质定理及推论—— 定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 依据性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论（3.2.1定理）： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个． (1)垂直于切线； (2)过切点； (3)过圆心． 相关概念及性质：三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心 三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等 [补充]（只做了解） 1.圆的外切四边形两组对边和相等 2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 3.弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 4.相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 5.切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等 七．圆和圆的位置关系： ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含 0≤＜d＜R-r(R＞r) 两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂