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将三角形的周长和面积同时平分的直线
问题 已知三角形三边长分别为4,6,8,那么同时平分这个三角形的周长和面积的直线有几条呢?
一般地,如图,直线L将ABC的周长和面积都平分,L与边AB,AC分别交于D,E点,设m=AD, n=AE, 其内角A为,三角形面积为,半周长为s, 则
说明m,n 是关于x的方程的两根,它有实数解的充要条件为
是否任意一个三角形都存在这样的直线L呢?若存在,最多有几条?
关于三角形的面积与半周长s平方的比的上下界, 有命题:
。(证明略)
因为任意一个三角形的三个内角中至少有一个内角不小于60o,也就是说必有(至少有一个)一个内角使得
下面我们来分析本文开头的问题:
这里,s=9, .
该问题有解
这里 sinB=;
若, 则m,n是方程的两根,
。
在边BC, BA上分别取点E,D使BE=, 直线DE即为所求。
(2)若,则m,n是方程的两根,
,
说明在线段AC(角A的夹边的较长边)上找不出点F使得,所以满足条件的解不存在。
(3)若C, , 无解。
综合,满足题设条件的直线L只有一条,即情形(1)所示。
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