中考数学复习九年级圆与三角函数.docVIP

圆与三角函数的有关计算和证明 【学习目标】 熟练掌握圆中有关的证明与计算； 能熟练运用三角函数； 能从复杂图形中识别常用的基本图形。 【典例分析】 一、以等腰三角形的腰为直径作圆，过底边中点作另一腰的垂线构切线 例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交CA的延长线于F，DE⊥AC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AB＝5，AF＝3，求tanC的值. 练习1、如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF=，求cos∠DEF的值. AEDOBCF练习2、在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点． A E D O B C F （1）求证：；（2）若，求sin∠CEF． 练习3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB. （1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求线段BF的长. 变式1、如图, AB为⊙O的直径, AC为⊙O的弦, ∠BAC的平分线交⊙O于点D, DE⊥AC于点E. （1）求证: DE为⊙O的切线; （2）连接OE交AD于点F, 连接BD, 若cos∠BAC=, 求的值. 变式2、如图1，AB是⊙O的直径，AD是弦，点E是弧BD上一点，EF⊥AD于点F，且EF是⊙O的切线. （1）求证：弧DE=弧BE；（2）连接BE，若tanDAB=，求tanB的值. 二、（圆中的三个二分之一）已知：如图，AB是半圆O的直径，点E是半圆O上一动点（不与A、B重合），点C是弧BE的中点，连接BE、AC交于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交BE于F点。求证：(1)CD=?BE；(2)CF=?BG；(3)DF=?EG。 例2、如图，Rt△ABCK ，∠ACD=90°，以AB为直径作⊙O，F是⊙O上一点，，CD⊥AB于点D，连AF分别交CD、BC于E、G两点，连接CF。 （1）求证：△ACE∽△AFC；（2）若sin∠DAE=，求。 CBEFADO练习1、如图，AB是⊙ C B E F A D O （1）求证：CF=BF；（2）若cos∠BAD=,，⊙O的半径为3，求BC的长． 练习2、如图，内接于⊙O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、。 （1）求证：是的外心；（2）若,求的长。 三、切割线型：从圆外一点同时引圆的切线和过圆心的割线 例3、如图，AC为⊙O的直径, PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， QUOTE . （1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）若AC＝CD＝2, 求cos∠BCA的值. 练习1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB＝BD，BD交AC于P，过B作BE∥AD交AC和延长线于E. （1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若AC＝8，PC＝1，求tan∠CBD的值. EOFDCBA练习2、已知：如图,在矩形中,点在对角线上,以的长为半径的⊙与,分别交于点E、点F,且∠=∠. E O F D C B A （1）判断直线与⊙的位置关系,并证明你的结论； （2）若,,求⊙的半径. 练习3、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO。 求证：BD是⊙O的切线； 若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为8，且，求△ACF的面积。 四、角平分线型：过圆周角的角平分线与圆的交点或弧的中点引圆的切线 例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，点O在AB上，经过A、D两点的⊙O交AB于E. ⑴求证：BC是⊙O的切线；⑵若，求. 练习1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，I是△ABD的内心，连结DI并延长交⊙O于点F． 求证：DE是⊙O的切线；（2）若，CE＝2，求DF的长． 练习2、如图，在△ABC中，∠C为直角，BD平分∠ABC交AC于D.在AB上取一点D.在AB上取一点O，以点O为圆心作经过B、D的圆，⊙O分别交AB、BC于E、F，连DE、EF，EF交BD于G. ⑴求证：AC与⊙O相切；⑵若DE=2，BG=3，求sin∠A. 五、切线长型:从圆外一点引圆的两条切线，已知一条求证另一条 例5、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。 （1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为4，点D为弧AE的中点 求sin∠OCB。