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第五节 直线、平面垂直的判定与性质
高考试题
考点一 证明两直线的垂直关系
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1.(2012 年新课标全国卷 , 理 19) 如图 , 直三棱柱 ABC A B C 中,AC=BC= AA ,D 是棱 AA 的中点 ,DC ⊥BD.
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(1) 证明 :DC ⊥BC;
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(2) 求二面角 A BD C 的大小 .
(1) 证明 : 由题设知 , 三棱柱的侧面为矩形 .
由于 D为 AA1 的中点 ,
1
故 DC=DC.
1
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又 AC= AA ,
2
可得 D 2 2=C 2
C1 +DC C1 ,
1
所以 DC⊥DC.
而 DC ⊥BD,DC∩BD=D,
1
1
所以 DC⊥平面 BCD.
因为 BC? 平面 BCD,
所以 DC1 ⊥BC.
(2) 解 : 由(1) 知 BC⊥DC1 ,
又 BC⊥CC1 ,
1 1
则 BC⊥平面 ACCA ,
所以 CA,CB,CC两两相互垂直 .
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以 C 为坐标原点 , CA 的方向为 x 轴的正方向 ,| CA | 为单位长度 , 建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz.
由题意知 A (1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C (0,0,2).
1 1
则 A1 D =(0,0,-1),
BD =(1,-1,1),
DC =(-1,0,1).
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设 n=(x,y,z) 是平面 A B BD的法向量 ,
n BD 0,
则
n A D 0,
1
x y z 0,
即
z 0.
可取 n=(1,1,0).
同理 , 设 m=(x,y,z) 是平面 C1BD 的法向量 ,
m BD 0,
则
m DC1 0,
x y z 0,
即
x z 0.
可取 m=(1,2,1).
n m 3
从而 cosn,m= = .
n m 2
故二面角 A1 BD C1 的大小为 30° .
2.(2011 年新课标全国卷 , 理 18) 如图所示 , 四棱锥 P ABCD中, 底面 ABCD为平行四边形 ,
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 A
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