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含双根号的函数值域的妙解
摘要：双根号 函数值域 线性规划的数形结合
关键词：双根号函数值域的妙解
对于含双根号的函数值域的求法，简单的主要是换元法配方法或者三角换
元，还有就是函数的单调性的解法。但碰到较复杂的函数模型的值域就一筹莫
展，笔者在学习过程中寻找到另种妙解：线性规划与数形结合，问题迎刃而解。
下面通过试题来展示：
例 1、 求函数 y 2x 5 6 2x 的值域。 Y
B
5
解 ： 函 数 的 定 义 域 为 x ,3 ， 令
2
O A X
2 x 5 a 0,1 2 2
, 等价转化得到 a b 1 ， 关 于
6 2x b 0,1
a
（ ,b）的圆在第一象限的轨迹，转而求目标函数
t a b 的取值范围。如图所示当直线过点 A （1，0 ）时，t=1 为最小值。
2 2
a b 1 2 2 2 2
当直线与圆相切于点 B 时, a (t a) 1 2a 2ta t 1 0
a b t
4t 2 8(t 2 1) 0 t 2为最大值， 1 t 2 y 1, 2
例 2、 求函数 y 2x 4 16 5x 的值域。
60
16 2x 4 a 0, 2 2
解：定义域为 x 2, , 5 ,等价转化得到 5a 2b 12 ，
5
16 5x b 0, 6
Y
关于（ a ,b）的椭圆在第一象限的轨迹，转而求目标函数
t a b 的取值范围。如图所示 B
60 60
当直线过点 A （ ，0）时，t= 为最小值；当直线
5 5 O
与椭圆相切于点 B 时 A
2 2 X
5a 2b 12 2 2 2 2
5a 2(t a) 12 7a 4ta 2t 12 0
a b t
2 2 210 60
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