第2讲一元二次方程解法教师版.doc

2 - 初三· 初三·第2讲·教师版 page PAGE 1 of NUMPAGES 3 第 第二讲 一元二次方程解法 中考要求 中考要求 知识点 A要求 B要求 Ｃ要求 一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 知识点睛 知识点睛 一、一元二次方程的定义 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 二、一元二次方程的判别式与公式法： 设一元二次方程为，其根的判别式为：，是方程的两根，则： ⑴ 方程有两个不相等的实数根． ⑵ 方程有两个相等的实数根． = 3 \* GB2 ⑶ 方程没有实数根． 若、、为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根； 若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根． 三、可化为一元二次方程的特殊方程： ①解方程的基本思想： 化分式方程为整式方程 化高次方程为一次或二次方程 化多元为一元 化无理方程为有理方程 总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程． ②解方程的基本方法： 解整式方程：一般采用消元(加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等)，降次(换元降次、因式分解降次、辅助式降次等)等方法． 解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法． 解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法． 重、难点 重、难点 灵活选择适当的方法解一元二次方程 转化思想的渗透 对根的判别式的理解 例题精讲 例题精讲 一、一元二次方程的概念 已知方程是关于的一元二次方程，求、的值． 当，方程化为； 当，方程化为； 当，方程化为； 当，方程化为，故不符题意． 综上可得，；；． 【巩固】已知方程是关于的一元二次方程，求、的值． 本题有3种情况：；；；解得；；． 二、一元二次方程的解法 一元二次方程的解法： ⑴直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程． ⑵配方法：解形如的一元二次方程， 一般步骤是：①二次项系数化1． ②常数项右移． ③配方(两边同时加上一次项系数一半的平方)． ④化成的形式． ⑤若，选用直接开平方法得出方程的解． ⑶公式法：一元二次方程的求根公式是．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式 ②确定、、的值． ③计算的值． ④若，则代入公式求方程的根． ⑤若，则方程无解． ⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 常用解法 直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法． = 1 \* GB2 ⑴ 因式分解法 适用于右边为(或可化为)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． = 2 \* GB2 ⑵ 公式法 适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值． = 3 \* GB2 ⑶ 直接开平方法 用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． = 4 \* GB2 ⑷ 配方法 配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式(、、为常数，)转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，具体方法为： ． 所以方程(、、为常数，)就转化为的形式， 即，之后再用直接开平方法就可得到方程的解． （2007三帆中学初三第一次月考试题）解方程 【巩固】用开平方法解下列方程： ⑴ ⑵ ⑶（吉林省长春市） ⑴ ；⑵ ； ⑶ ，． 用配方法解方程：⑴ ⑵ ⑶ ⑴ ；⑵ ；⑶ 无解． 用配方法解关于的方程（为已知常数） ；∴当时， 即；当时，原方程无实数根． 用配方法解方程：(、、为常数且) 因为，方程两边同除以，得 移项，得，配方 因为，所以，当时，直接开平方得： ， 又因为式子前面已有符号”“，所以无论还是，最终结果总是 即；当时，原方程无解． 由上面研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式 用公式法解方程：⑴ ⑵ ⑴ ，．⑵ ，．