高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐).pdfVIP

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点 A (1 , 4) 、B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与 圆的关系． 分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的 位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆 外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一： （待定系数法） 设圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2 ． ∵圆心在 y 0 上，故 b 0 ． ∴圆的方程为 (x a)2 y2 r 2 ． 2 2 (1 a) 16 r 又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点． ∴ 2 2 (3 a) 4 r 解之得： a 1 ， r 2 20 ．所以所求圆的方程为 (x 1)2 y2 20 ． 解法二： （直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 A (1, 4 ) 、 B(3 , 2) 两点， 所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上， 又因为 4 2 kAB 1，故 l 的斜率为 1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程 1 3 为： y 3 x 2 即 x y 1 0 ． 又知圆心在直线 y 0 上，故圆心坐标为 C ( 1 , 0) ∴半径 r AC (1 1)2 4 2 20 ． 故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 又点 P(2 , 4) 到圆心 C ( 1 , 0) 的距离为 d PC (2 1) 2 42 25 r ． ∴点 P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程， 都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量， 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系， 若将点换成直 线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5 已知圆 O：x 2 y2 4 ，求过点 P 2，4 与圆 O 相切的切线． 解： ∵点 P 2，4 不在圆 O 上，∴切线 PT 的直线方程可设为 y k x 2 4 2k 4 3 根据 d r ∴ 2 解得 k 1 k2 4 1 3 所以 y x 2 4 即 3x 4 y 10 0 4 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条 切线为 x 2 ． 说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于