图形的旋转2014师培优竞赛新方法.docxVIP

图形的旋转 【知识纵横】 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转解。 旋转变换不改变图形的形状和大小。通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度。旋转变换前后的图形有下列性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角； （3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。 【例题求解】 【例1】 （上海市中考）如图，在Rt⊿ABC中，已知∠C=900 ，∠B=500 ，点D在边BC上，BD=2CD，把⊿ABC绕着点D逆时针旋转 m（0 m180）度后，如果点B恰好落在初始Rt⊿ABC的边上，那么m= 。 思路点拨：因B点所落的边未确定，故需分类讨论。 ★【例2】（全国初中数学竞赛）如图，P是等边⊿ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（ ） A、2：3：4 B、3：4：5 C、4：5：6 D、不确定 思路点拨：由于PA、PB、PC没有构成三角形，所以需要作辅助线构造以它们为边的三角形，不妨实施旋转变换。 【例3】如图，在Rt⊿ABC中，AB=AC=2，∠BAC=900 。将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE、PF分别与AC、AB相交于点N、M，连MN、AP，交于D点。 （1）求证：PN=PM； （2）设线段AM的长为x，⊿PMN的面积为y，求y与x的函数关系式。 ★（3）当三角板旋转到 QUOTE = QUOTE 时，求AM的长。 思路点拨：（1）从探寻⊿BPM与⊿APN入手；（2）S⊿PMN=S四边形ANPM-S⊿AMN； （3）可证明 QUOTE = QUOTE = QUOTE 。 ★【例4】（广州市中考）已知在Rt⊿ABC中，AB=BC，在Rt⊿ADE中，AD=DE，连接EC，取EC中点，连接DM和BM。 （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图 = 1 \* GB3 ①，求证：BM=DM且BM?DM；★（2）如图 = 2 \* GB3 ②中的⊿ADE绕点A逆时针转小于450的角，那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。 ★★【例5】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为+，求此正方形的边长。 分析：【费马点问题：到每个顶点距离之和最小的点】本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA、EB、EC连接起来。 【学历训练】 A组 1、（上海市中考题）如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 。 (1题) (2题) (3题) (4题) 2、（青岛市中考题）如图，P是正⊿ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将⊿PAC绕点A顺时针旋转后，得到⊿P′AB，则点P与P′之间的距离为 ，∠APB= 。 3、（河南省中考题）如图，将⊿ABC绕点C（0，-1）旋转1800得到⊿A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ） A、（-a，-b） B、（-a，-b-1） C、（-a，-b+1） D、（-a，-b-2） ★4、（2014.江西抚州）如图，两块完全相同的含300角的直角三角板ABC和⊿A′B′C′重合在一起，将三角板⊿A′B′C′绕其顶点C′按逆时针旋转α（00α≤900），有以下四个结论： = 1 \* GB3 ①当α=300，A′C′与AB的交点恰为AB的中点； = 2 \* GB3 ②当α=600，A′B′恰好经过B点； = 3 \* GB3 ③在旋转过程中，存在某一时刻使得AA′=BB′； = 4 \* GB3 ④在旋转过程中，始终存在AA′? BB′。其中所有正确结论的序号是 。 5、（2014.江苏苏州）如图，⊿AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2,）,底边OB在x轴上。将⊿AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得⊿A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（ ） A、（ QUOTE ， QUOTE ） B、（ QUOTE ，） C、（， QUOTE ） D、（ QUOTE