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第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用 AB 或 a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或 模，记为 AB 或 a 。正如平面向量 a 可用坐标 (x,y.)表示，空间向量 a 也可用坐标 (x,y,z) 表示。若已 知点 A 坐标为（ x ，y ，z ）,点 B 坐标为（ x ，y ，z ） 1 1 1 2 2 2 则向量 AB = （x2 -x 1 ，y2- y 1 ，z2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 2 2 2 在空间，知道向量 a = （x ，y ，z ）则， a = x y z 2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量 a 、 b ，在空间任取一点 O，作 OA = a ， OB = b ，则角∠ AOB叫向量 a 与 b 的 夹角，记作＜ a ， b ＞规定，若 0 ≤＜ a ， b ＞≤ ，若＜ a ，b ＞= ，称 a 与 b 垂直，记作 a 2 ⊥ b 。 ② 已知空间两个向量 a 、 b ，则 a b COS＜ a ， b ＞叫向量 a 、 b 的数量积，记作 a b ＝ a b COS ＜ a ， b ＞若 a ⊥ b a b ＝０ ③ 若已知空间向量 a ＝（ x ，y ，z ）， b ＝（ x ，y ，z ） 1 1 1 2 2 2 则 a b ＝x x +y y +z z ， 1 2 1 2 1 2 a.b x x y y z z 1 2 1 2 1 2 COS＜ a ， b ＞＝ 2 2 2 2 2 2 a .b x1 y1 z1 x2 y2 z2 例１ 如图，已知直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，∠ BCA=90 0,D1、 E1 分别为 A 1B 1、A 1C 1 中点，若 BC=CA=CC 1 ， 求向 BD 与 AE 所成角的余弦值。 1 1 D1 B1 Ａ1 E1 C1 Ｂ Ａ Ｃ 6