五、空间解析几何.doc

- 五、空间解析几何 XE 五、空间解析几何 1、基本概念 XE 1、基本概念 （1）空间两点和间的距离： （2）向量在轴u上的投影： Prju= (其中，是向量与轴u的夹角) （3）向量的定比分点： 设、为两已知点，是向量的定比分点，则： eq \o\ac(○,1) ， (注：AM和MB是有向线段) ， ， eq \o\ac(○,2)当M为的中点时，有： ， ， （4）方向余弦： 或，且有： 其中、、是向量与各坐标轴的夹角，、、是向量在各坐标轴上的投影。 （5）两向量的数量积、向量积和混合积 eq \o\ac(○,1)数量积：====++ (推论：两向量夹角余弦：) 数量积的性质： eq \o\ac(◇,1)== eq \o\ac(◇,2) 数量积的运算规律： eq \o\ac(◇,1)交换律：= eq \o\ac(◇,2)分配律：(+)=+ eq \o\ac(◇,3)结合律：()=() eq \o\ac(○,2)向量积：×== (代表以为邻边的平行四边形的面积)向量积的性质： eq \o\ac(◇,1) (代表以为邻边的 平行四边形的面积) eq \o\ac(◇,2)×=0 eq \o\ac(◇,3) 向量积的运算规律： eq \o\ac(◇,1)反交换律：×=-× eq \o\ac(◇,2)分配律：(+)×=×+× eq \o\ac(◇,3)结合律：()×=×()=(×) (为数) eq \o\ac(○,3)混合积：=(×)== (当为锐角时，代表以三个向量组成的平行六面体的体积。) 混合积的运算规律： eq \o\ac(◇,1)轮换对称性： eq \o\ac(◇,2)反交换律： （6）向量之间的关系(设) eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2)向量，之间的夹角： eq \o\ac(○,3) eq \o\ac(○,4) eq \o\ac(○,5)向量，共线存在不全为零的，使得 eq \o\ac(○,6)向量共面=0存在不全为零的使得 eq \o\ac(○,7)向量在上的投影： 2、空间曲面 XE 2、空间曲面 （1）球面： eq \o\ac(○,1)一般式： eq \o\ac(○,2)标准式： (圆心为，半径为R) （2）旋转曲面：(设曲线L：在YOZ坐标面上) eq \o\ac(○,1)曲线L绕Z轴旋转所成曲面方程： eq \o\ac(○,2)曲线L绕Y轴旋转所成曲面方程： （3）柱面： eq \o\ac(○,1)母线平行于Z轴的柱面：曲面方程只含x,y而缺z，其准线是XOY面上的曲线L：； 母线平行于Y轴的柱面：曲面方程只含x,z而缺y，其准线是XOZ面上的曲线L：； 母线平行于X轴的柱面：曲面方程只含y,z而缺x，其准线是YOZ面上的曲线L：； eq \o\ac(○,2)常见柱面及其方程 eq \o\ac(◇,1)圆柱面： eq \o\ac(◇,2)椭圆柱面： eq \o\ac(◇,3)双曲柱面： eq \o\ac(◇,4)抛物柱面： （4）二次曲面 eq \o\ac(○,1)椭球面： eq \o\ac(◇,1)椭球面： (当时，变为球面方程：) eq \o\ac(◇,2)旋转椭球面：(Z轴为旋转轴) eq \o\ac(○,2)抛物面： eq \o\ac(◇,1)椭圆抛物面： () eq \o\ac(◇,2)旋转抛物面： () eq \o\ac(◇,3)双曲抛物面(鞍形曲面)：() eq \o\ac(○,3)双曲面： eq \o\ac(◇,1)单叶双曲面： eq \o\ac(◇,2)双叶双曲面： eq \o\ac(○,4)二次锥面： （5）空间曲面的切平面与法线 eq \o\ac(○,1)空间曲面的法向量为： eq \o\ac(○,2)空间曲面上点处的法线方程为： 或 eq \o\ac(○,3)空间曲面上点处的切平面方程为： （6）旋转体的体积 eq \o\ac(○,1)极坐标图形绕极轴旋转所成旋转体体积： eq \o\ac(○,2)平面图形绕轴旋转所成旋转体体积： eq \o\ac(○,3)曲线绕轴旋转所成旋转体表面积： eq \o\ac(○,4)古尔金定理(轮胎定理)：平面图形(设面积为)绕不与它相交的轴旋转(图形重心与旋转轴的距离，即旋转半径为)，所得旋转体体积为： 3、空间曲线 XE 3、空间曲线 （1）空间曲线方程 eq \o\ac(○,1)一般式： (空间曲线可看作两个曲面的交线) eq \o\ac(○,2)参数式： (如螺旋线方程为： ) （2）空间曲线的切线与法平面 eq \o\ac(○,1)空间曲线的切向量： eq \