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中考数学专题训练1：相似三角形的证明与计算 【基本结论】 1. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2.三角形相似的判定： (1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (2)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似. (3) 三边成比例的两个三角形相似。 3.相似形的性质：相似三角形对应线段之比等于相似比；周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。 【基础练习】 1. 三角形的三条高线相交于点H，找出图中所有的相似三角形. 2. 如图，BD、CE是△ABC的高，求证：△AED∽△ACB. 3. 如图，等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=600,BP=1,CD=2/3,求△ABC的边长. 4. 三角形的三条中线相交于点O，求证：BO=2OE. 5.在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．求证：(1)∠DEC=∠B；(2)AB2＝AE?AC． 6. △ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，求证：△ABE∽△ADC． 【拓展提高】 7. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，AD、BE分别与AC、CE交于点F、G，AD、BE交于点H．求证：(1)BE =AD；(2)AF·FC=BF·FH． 8.△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2．求FB∶FC的值． 9. AB∥CD，AD、BC交于点E，过E作EF ∥AB，交BD于F，求证：. 10. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α， 且DM交AC于F，ME交BC于G． (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长． 11. 如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12. 如图，⊙中，弦相交于的中点，连接并延长至点， 使，连接BC、．(1)求证：；(2)当时，求的值 13．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形． 14. 已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点． (1)求的值；(2)若，求的长． 15.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． (1)求证：△ABF∽△COE； (2)当O为AC边中点， 时，如图2，求; (3) 当O为AC边中点， 时，请直接写出的值． B B B A A C O E D D E C O F 图1 图2 F 16. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为(－1，0)，过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1． (1)填空：点C的坐标是_____，b＝_____，c＝_____； (2)求线段QH的长(用含t的式子表示)； (3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由． 17. 已知，如图1，过点E(0，-1)作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF． (1)求点A、B、F的坐标； (2)求证：CF⊥DF； (3)点P是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点． (1)求与轴的另一个交点D的坐标； (2)如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值． 19.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60?，AB与PC交于Q点． (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； (2)求证：； (3)若∠ABP = 15?，△ABC的面积为4，求PC的长． QP Q P C B A O 20. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． (1)求证：△CDE∽△C